抽象函數(shù)習(xí)題精選精講-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 。例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。∴，∴， 即，解得不等式的解為－1 a 3。解：（1）令y＝0代入，則，∴。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。分析: 由題設(shè)條件可猜測(cè)y＝f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）g（b）。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。（2）設(shè)，∴，∵時(shí)，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下：一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。解：取，得因?yàn)椋杂秩〉迷u(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來(lái)。若，則，對(duì)任意均成立，這與存在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2002，0）對(duì)稱。解：（1）在中，令，得，因?yàn)椋?。因此有，解得?
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