抽象函數(shù)奇偶性對稱性周期性-預(yù)覽頁
【正文】 、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 若的圖像關(guān)于直線對稱。 （C）。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4x)，且當時，f(x)=－2x+1，則當時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4x)，且當時，f(x)是減函數(shù)，求證當時f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x) =f(6x)，f(x)= f(2x)，若f(a) =f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]. 例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在區(qū)間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個根？ 解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間[－1000，1000]上至少有1+=401個根.例 函數(shù)y＝f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D ）A．關(guān)于直線x＝5對稱 B．關(guān)于直線x＝1對稱C．關(guān)于點（5，0）對稱 D．關(guān)于點（1，0）對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關(guān)于點（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選D?！ ．關(guān)于直線x＝5對稱 A． B．－C． ）。
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