抽象函數(shù)習(xí)題精選精講-文庫(kù)吧
2025-03-10 02:32 本頁(yè)面
【正文】 可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴ f（x）的值域?yàn)椋郏?，2］。例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是y＝x＋2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，則， 即，∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3?！?，∴， 即，解得不等式的解為－1 a 3。指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對(duì)任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，則，∴。若f（x）＝0，則對(duì)任意，有，這與題設(shè)矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對(duì)任意x，f（x）＞0恒成立。例是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x＝1時(shí)，∵，又∵x ∈N時(shí)，f（x）＞0，∴，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時(shí)有，則x＝k＋1時(shí)，∴x＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1
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