[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略-文庫(kù)吧
2024-12-23 19:45 本頁(yè)面
【正文】 多抽象函數(shù)是由特殊函數(shù)抽象背景而得到的，如正比例函數(shù) f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為 f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函數(shù) 抽象函數(shù) f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可采用特殊值函數(shù) f (x)= kx(k≠0) ∵ 當(dāng) x 0 時(shí) f (x) 0 即 kx 0。 .∴ k 0，可得 f (x)在 [a,b]上單調(diào)遞減，從而在[a,b]上有最小值 f(b)。 二．賦值法．根據(jù)所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而來解決問題。 例 2 除了用剛才的方法外 ,也可采用賦值法 解 :令 y = x，則由 f (x + y) = f (x) + f (y) (x， y∈ R)得 f (0) = f (x) +f (x)….. ① , 再令 x = y = 0 得 f(0)= f(0)+ f(0)得 f (0)=0，代入 ① 式得 f (x)= f(x)。 得 f (x)是一個(gè)奇函數(shù)，再令 ，且 。 ∵ x 0， f (x) 0，而 ∴ ，則得 ， 即 f (x)在 R 上是一個(gè)減函數(shù)，可得 f (x)在 [a,b]上有最小值 f(b)。 例 3 已知函數(shù) y = f (x)(x∈ R， x≠0)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù) ， ，恒有 f( )=f( )+f( ), 試判斷 f(x)的奇偶性。 解：令 = 1， =x，得 f (x)= f (1)+ f (x) …… ① 為了求 f (1)的值，令 =1， =1，則 f(1)=f(1)+f(1),即 f(1)=0,再令 = =1 得 f(1)=f(1)+f(1)=2f(1) ∴ f(1)=0 代入① 式得 f(x)=f(x),可得 f(x)是一個(gè)偶函數(shù)。 三．利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來解題： 抽象函數(shù)雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質(zhì)圖象直接來解題。 抽象函數(shù)解題時(shí)常要用到以下結(jié)論： 定理 1：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(bx)，則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 x= 對(duì)稱。 定理 2：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(b+x)，則函數(shù) y=f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，周期為 ab。 例 4 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x)=f(2x)，證明 f(x)是周期函數(shù)。 分析：由 f(x)=f(2x)，得 f(x)的圖象關(guān)于 x=1 對(duì)稱，又 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，根據(jù)上述條件，可先畫出符合條件的一個(gè)圖，那么就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然后再作證明。 由圖可直觀得 T=2,要證其為周期函數(shù)，只需證 f (x) = f (2 + x)。 證明： f (x) = f (x) = f [2(x)] = f (2 + x)， ∴ T=2。 ∴ f (x)是一個(gè)周期函數(shù)。 例 5 已知定義在 [2， 2]上的偶函數(shù)， f (x)在區(qū)間 [0， 2]上單調(diào)遞減，若 f (1m)f (m),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域， m， m∈ [2,2]，但是 1 m 和 m 分別在 [2， 0]和 [0，2]的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則 f (x)有性質(zhì) f（ x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場(chǎng)大 規(guī)模討論。 解： ∵ f (x)是偶函數(shù)， f (1m)f(m) 可得 ， ∴ f(x)在 [0， 2]上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡(jiǎn)得 1≤m 。 抽象函數(shù)問題的題型綜述 一 . 求某些特殊值 這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及運(yùn)算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法 ”，即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問題具體化。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) 滿足： 且 ，求 的值。 解：由 ， 以 代入，有 ， 為奇函數(shù)且有 又由 故 是周期為 8 的周期函數(shù)， 例 2 已知函數(shù) 對(duì)任意實(shí)數(shù) 都有 ，且當(dāng) 時(shí)， ，求 在 上的值域。 解：設(shè) 且 ， 則 ， 由條件當(dāng) 時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令 ，則
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