抽象函數(shù)習(xí)題精選精講(存儲(chǔ)版)
【正文】 9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。由于對(duì)任意均成立，因此，對(duì)任意，有下面來證明，對(duì)任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對(duì)任意所以評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù)，所以為偶函數(shù)。在中，令因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)而所以又當(dāng)x=0時(shí)，所以，綜上可知，對(duì)于任意，均有。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，試確定a的取值范圍。評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。解：令，得，即有或。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評(píng)析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。g（b）是否正確，試說明理由。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴ f（x）的值域?yàn)椋郏?，2］。例3． 已知二次實(shí)函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得∴:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.=為奇函數(shù),當(dāng) 0時(shí),求解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求0時(shí)的表達(dá)式。 例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判
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