抽象函數(shù)習題精選精講(存儲版)
【正文】 9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。這類問題實質上相當于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉化的必要手段。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。（1）判斷f(x)的單調性；（2）設，若，試確定a的取值范圍。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯(lián)。解：令，得，即有或。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。g（b）是否正確，試說明理由。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。分析：由題設可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴ f（x）的值域為［－4，2］。例3． 已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設=，則=比較系數(shù)得∴:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.=為奇函數(shù),當 0時,求解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關于原點對稱，故先求0時的表達式。 例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)：先確定函數(shù)類型，設定函數(shù)關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數(shù)。解：設，∵當，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判
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