復合函數(shù)概念精析(存儲版)
【正文】 值域，依次外推直至求出最外層函數(shù)的值域。 定理1 當內(nèi)層函數(shù)u=(x)為偶函數(shù)時，復合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)（此時f可為任意函數(shù)），簡記為“內(nèi)偶則偶”。 以上定理可推廣至n層復合函數(shù)，即： 定理3 若有限次復合函數(shù)的每層子函數(shù)均有意義且嚴格單調(diào)，則減函數(shù)的層數(shù)為偶數(shù)時，復合函數(shù)為增函數(shù)；減函數(shù)的層數(shù)為奇數(shù)時，復合函數(shù)為減函數(shù)。 若外層函數(shù)y= f ( u )與內(nèi)層函數(shù)u= g( x )都是嚴格單調(diào)函數(shù)時，復合函數(shù)y=f[g(x)]的值域為開區(qū)間，則復合函數(shù)無最值；值域在閉區(qū)間，則復合函數(shù)既有最大值，也有最小值；值域為半開半閉區(qū)間，則復合函數(shù)只有最大值而無最小值，或只有最小值而無最大值。一般先逐層求出各層子函數(shù)的反函數(shù)，后復合為原函數(shù)的反函數(shù)，或用穿脫原則從外到內(nèi)依次取原映射的逆映射。圖像 略。 函數(shù)y= g［f(x)］是復合函數(shù)y=f［g(x)］的反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱。15。因而y=f［f(x)］與y=f［f(x)］也不是同一個函數(shù)；y=f［f(x)］=x,這里的x表示函數(shù)y=f(x)的值域中的任一個值，而y=f［f(x)］=x，這里的x卻表示函數(shù)y=f(x)的定義域中的任一個值。例1作函數(shù)y= 2 lg(x+1)2的圖像。解：令t = 2x+1，則x = ，于是得 f ( t ) =，∴ f ( x ) = = y (x∈R)，即 yx4x+(y3)= 0，當y=0時，x= ；當y≠0時，因x∈R,故= 16 –4y(y–3)≥0，∴1≤ y ≤4, 且當x = 時,f(x)=4；當x= 2時,f(x)= 1。 求函數(shù)的最值 （1）已知復合函數(shù)的表達式，求復合函數(shù)的最值。 定理1當y=f(u),u=g(u)均為增函數(shù)時，則復合函數(shù) y=f［g(x)］為增函數(shù)；當y=f(u) ,u=g(u)均為減函數(shù)時，則復合函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)，簡記為“同向為增”。例如函數(shù)y=lg cosx,可拆成y=lgu，u=cosx,易知外層函數(shù)y=lgx不具有奇偶性，但內(nèi)層函數(shù)u=cosx是偶函數(shù)，由定義可知y=lg cosx是偶函數(shù)。例 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函數(shù)f (x3) 。解：設(shè)cos x –1 = t,則cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，故 f(x) = (x+1) ， (–2≤ x ≤0) 。 （1）已知中間變量，求復合函數(shù)。 （2）已知函數(shù)y = f (x) 的定義域，求復合函數(shù)y=f［g(x)］的定義域。例如復合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、極值，求反函數(shù)時都需要它，一些重要運算，如求導、微分更必須依靠它由。 從穿脫原理理解 穿脫原理是復合函數(shù)與簡單函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，由它可將簡單函數(shù)構(gòu)造成復合函數(shù)，也可將復合函數(shù)分拆為簡單函數(shù)。只看一面，不看另一面就會犯概念的錯誤。有人形容復合映射fg是具有傳遞性的兩個映射f和g的鏈條，可以幫助我們理解復合函數(shù)的內(nèi)涵。g(x)的函數(shù)，而是專指把幾個映射，像工廠中的生產(chǎn)流水線，依先后順序合在一起，對同一自變量逐次映射構(gòu)作的一個復合映射確定的函數(shù)。由于上述定義中對“復合”的定義沒有明確界定，因而很多同學對復合函數(shù)的概念似是而非，含混不清，為此，我們精讀這個定義，字斟句酌，糾錯補缺，以使我們正確理解復合函數(shù)的概念。例如y=sin 2x它與y=sin x不同，不是基本初等函數(shù)，而是由三角函數(shù)y=sin u和一次函數(shù)u=2x經(jīng)過“復合”而成的一個函數(shù)。b這里外層函數(shù)的映射法則f和內(nèi)層函數(shù)的映射法則g構(gòu)作的復合函數(shù)的映射法則稱為復合映射fg（注意：不能把fg
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