復(fù)合函數(shù)概念精析(參考版)
2025-06-30 00:15本頁面
【正文】 15。正解：因y=f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，故y= f(x)的圖像應(yīng)過點(diǎn)(1,0)，又y=f(x+4)的圖像可由y=f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，所以y= f(x+4)的圖像應(yīng)由y= f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，故y= f(x+4)必過點(diǎn)(3,0)。例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，則函數(shù)y= f(x+4)的圖像過點(diǎn)( )。 函數(shù)y= g［f(x)］是復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。因而y=f［f(x)］與y=f［f(x)］也不是同一個(gè)函數(shù)；y=f［f(x)］=x,這里的x表示函數(shù)y=f(x)的值域中的任一個(gè)值，而y=f［f(x)］=x，這里的x卻表示函數(shù)y=f(x)的定義域中的任一個(gè)值。 （2）y=f［g(x)］與y=g［f(x)］的區(qū)別。 （1）f(x)與f(x)的區(qū)別。圖像 略。例1作函數(shù)y= 2 lg(x+1)2的圖像。 三、復(fù)合函數(shù)的圖像 作復(fù)合函數(shù)的圖像一般都比較繁雜，這里僅介紹用圖像變換法作復(fù)合函數(shù)的圖像。例1 求函數(shù)y = 2 arctan ( 2x )的反函數(shù)。一般先逐層求出各層子函數(shù)的反函數(shù)，后復(fù)合為原函數(shù)的反函數(shù)，或用穿脫原則從外到內(nèi)依次取原映射的逆映射。解：令t = 2x+1，則x = ，于是得 f ( t ) =，∴ f ( x ) = = y (x∈R)，即 yx4x+(y3)= 0，當(dāng)y=0時(shí)，x= ；當(dāng)y≠0時(shí)，因x∈R,故= 16 –4y(y–3)≥0，∴1≤ y ≤4, 且當(dāng)x = 時(shí),f(x)=4；當(dāng)x= 2時(shí),f(x)= 1。 先由復(fù)合函數(shù)求得原函數(shù)，再求原函數(shù)的最值。解：y=(sinx+a)(cosx+a)=sinx cosx + a(sinx+cosx)+a=,令 t = sinx + cosx , 由sinx + cosx = sin(x+) 知 |t|≤,∴y = + at + a=(t + a)+ (a1),當(dāng)t=a時(shí)，y=(a1),當(dāng)t=時(shí)，y=a+a + 。 若外層函數(shù)y= f ( u )與內(nèi)層函數(shù)u= g( x )都是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的值域?yàn)殚_區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)無最值；值域在閉區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)既有最大值，也有最小值；值域?yàn)榘腴_半閉區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)只有最大值而無最小值，或只有最小值而無最大值。 求函數(shù)的最值 （1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的最值。 （2）當(dāng)內(nèi)層函數(shù)無周期性，外層函數(shù)有周期性時(shí)，應(yīng)由周期函數(shù)的定義判斷。當(dāng)最內(nèi)層函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)必為周期函數(shù)，但最小正周期可能改變。 以上定理可推廣至n層復(fù)合函數(shù)，即： 定理3 若有限次復(fù)合函數(shù)的每層子函數(shù)均有意義且嚴(yán)格單調(diào)，則減函數(shù)的層數(shù)為偶數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；減函數(shù)的層數(shù)為奇數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。 定理1當(dāng)y=f(u),u=g(u)均為增函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù) y=f［g(x)］為增函數(shù)；當(dāng)y=f(u) ,u=g(u)均為減函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)，簡(jiǎn)記為“同向?yàn)樵觥?。但若其中某層中間變量沒有單調(diào)性時(shí)，則復(fù)合函數(shù)無單調(diào)性。記為“內(nèi)奇外奇則奇”，“內(nèi)奇外偶則偶”。 定理1 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)u=(x)為偶函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)（此時(shí)f可為任意函數(shù)），簡(jiǎn)記為“內(nèi)偶則偶”。例如函數(shù)y=lg cosx,可拆成y=lgu，u=cosx,易知外層函數(shù)y=lgx不具有奇偶性，但內(nèi)層函數(shù)u=cosx是偶函數(shù)，由定義可知y=lg cosx是偶函數(shù)。 判斷函數(shù)奇偶性 通法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷。解：∵x ∴＜sin x≤1.又∵ y=arc cos u是減函數(shù)。
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