【正文】 例如y=sin (arc sin x)=x,x∈［1,1］ ；y=arc sin(sin x)=x,x∈R. (3) y= g［f(x)］與y= f［g(x)］的區(qū)別。 求反函數(shù) 當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的各層子函數(shù)均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，有反函數(shù)。 定理2當(dāng)y=f(u)為增函數(shù)，u=g(u)為減函數(shù)，或y=f(u)為減函數(shù)，u=g(u)為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為減函數(shù)，簡(jiǎn)記為“異向?yàn)闇p”。解：設(shè) t=x+3,則x=t–3,有f ( t ) = (t3)+ 2 (t3)+1 = (t2)，∴f(x) = (x2)，故f (x3) = ［(x3)2］=（x5）。 用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式代換外層函數(shù)的自變量解出。 二、 復(fù)合函數(shù)初等性質(zhì)舉要 在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見(jiàn)的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，極值與最值。有的同學(xué)不加分析地認(rèn)為任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，事實(shí)卻不然，例如y= ln ( sin x –2),y=arc cos(x+2)等都不是復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閥=ln u是自然對(duì)數(shù)，定義域N必須符合u 0 (u∈N),但u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有MN=｛u︱u0｝｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。這里的幾個(gè)映射可以相同，也可以不同，但只能是常數(shù)與基本初等函數(shù)間進(jìn)行的冪的運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算，三角運(yùn)算，反三角運(yùn)算。一、 復(fù)合函數(shù)的概念我們見(jiàn)到的復(fù)合函數(shù)的描述性定義是：如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，即y=f(u)，u=g(x)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f［g(x)］叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量。從外向內(nèi)看，函數(shù)y=f［g(x)］中稱(chēng)f定義的函數(shù)y=f(u)為外層函數(shù)（外函數(shù)），稱(chēng)g定義的函數(shù)u=g(x)為內(nèi)層函數(shù)（內(nèi)函數(shù)），且稱(chēng)函數(shù)y=f［g(x)］為函數(shù)f和g復(fù)合一次得到。 從結(jié)構(gòu)特征理解除最內(nèi)層函數(shù)允許對(duì)自變量施行加、乘運(yùn)算外，每一次復(fù)合都是把內(nèi)層函數(shù)的整體作為自變量施行新的映射，這樣，像穿衣服一樣，從內(nèi)到外逐次添加映射，直至構(gòu)造出所需函數(shù)。例 函數(shù)y=的定義域。 關(guān)鍵是溝通中間變量與復(fù)合函數(shù)表達(dá)式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)用中間變量的整體作自變量的映射法則，常用配湊法，換元法，待定系數(shù)法等。 判斷函數(shù)奇偶性 通法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷。 （2）當(dāng)內(nèi)層函數(shù)無(wú)周期性，外層函數(shù)有周期性時(shí)，應(yīng)由周期函數(shù)的定義判斷。 三、復(fù)合函數(shù)的圖像 作復(fù)合函數(shù)的圖像一般都比較繁雜，這里僅介紹用圖像變換法作復(fù)合函數(shù)的圖像。正解：因y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，故y= f(x)的圖像應(yīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，又y=f(x+4)的圖像可由y=f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，所以y= f(x+4)的圖像應(yīng)由y= f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，故y= f(x+4)必過(guò)點(diǎn)(3,0)。 （1）f(x)與f(x)的區(qū)別。解：y=(sinx+a)(cosx+a)=sinx cosx + a(sinx+cosx)+a=,令 t = sinx + cosx , 由sinx + cosx = sin(x+) 知 |t|≤,∴y = + at + a=(t + a)+ (a1),當(dāng)t=a時(shí)，y=(a1),當(dāng)t=時(shí)，y=a+a + 。記為“內(nèi)奇外奇則奇”，“內(nèi)奇外偶則偶”。解：由已知用–x代換x，由于n為奇數(shù)，有a f(–x)+ f(x) = –bx 。 實(shí)質(zhì)是從已知復(fù)合函數(shù)中x的取值范圍，求出這個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量的范圍。