復(fù)合函數(shù)概念精析-預(yù)覽頁
【正文】 記為u=sin v，第三層記為v=t，第四層記為t=x+1。 二、 復(fù)合函數(shù)初等性質(zhì)舉要 在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，極值與最值。 將已知復(fù)合函數(shù)正確地拆成幾個常見的簡單函數(shù)，根據(jù)使函數(shù)解析式有定義的要求，由外到內(nèi)列全限制條件對應(yīng)的不等式，所得不等式組的解集就是復(fù)合函數(shù)的定義域。 因為f代表同一映射，只需用代換法則，先將原函數(shù)的定義域?qū)懗蓌的不等式，再將x換成中間變量 g ( x )，解所得不等式即可。（或內(nèi)層函數(shù)的值域）。 用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達式代換外層函數(shù)的自變量解出。解：∵f ( x ) =∴f［f(x)］= f() = = （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)。 （3）已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達式。結(jié)合已知條件，可解得f(x) = ，而a≠1，n為奇數(shù)，故f(x) = 。解：設(shè) t=x+3,則x=t–3,有f ( t ) = (t3)+ 2 (t3)+1 = (t2)，∴f(x) = (x2)，故f (x3) = ［(x3)2］=（x5）?！?≤ arc cos(sin x) ＜. 故新求函數(shù)的值域是［0，)。 當(dāng)復(fù)合函數(shù)各層子函數(shù)都有奇偶性時，可用下列法則判斷它的奇偶性。 判斷函數(shù)單調(diào)性 通法仍然是由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷。 定理2當(dāng)y=f(u)為增函數(shù)，u=g(u)為減函數(shù)，或y=f(u)為減函數(shù)，u=g(u)為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為減函數(shù)，簡記為“異向為減”。 例如y=cosx,由y=u,u=cosx復(fù)合得到，內(nèi)層函數(shù)u=cosx為周期函數(shù)，T=2л，則y=cos仍為周期函數(shù)，但Tˊ=л. 若外層函數(shù)y= f( u )為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)u=g(x)是以T為周期的函數(shù)，并且有最小正周期T，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］是周期函數(shù)，并且有最小正周期T。 若外層函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)有最值時，內(nèi)層函數(shù)的最值點就是復(fù)合函數(shù)的最值點；若外層函數(shù)有最值時，外層函數(shù)的最值點就是復(fù)合函數(shù)的最值點。 （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)的最值。 求反函數(shù) 當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的各層子函數(shù)均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，有反函數(shù)。解：y=2arc tan ( 2x ),x=(tan+ ) 故 y = tan+又 ＜arc tan ( 2x )＜，＜2arc tan ( 2x )＜，故所求反函數(shù)為y = tan+ (＜x＜)。解：原函數(shù)y= 2 lg(x+1)2的圖像可由函數(shù)y= lgx的圖像經(jīng)過下列變換得到：y= lgx 沿x軸伸長3倍后，向右平移3個單位 y= lg(x 1) 關(guān)于直線x=3對稱y=lg［ (x 1)］ 沿y軸方向伸長2倍 y=2lg［ (x 1)］ 關(guān)于x軸對稱y= 2lg［ (x 1)］沿y軸向下平移2個單位 y= 2lg［ (x 1)］2 = 2 lg(x+1)2。 f(x)是簡單函數(shù)的記號，而f(x)則為復(fù)合函數(shù)的記號，y= f(x)由y=f(u)，u= x復(fù)合而成。例如y=sin (arc sin x)=x,x∈［1,1］ ；y=arc sin(sin x)=x,x∈R. (3) y= g［f(x)］與y= f［g(x)］的區(qū)別。錯解：因函數(shù)y=f(x)的圖像過點(0,1)，而函數(shù)y=f(x+4)的圖像可由函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移4個單位得到，故y=f(x+4)的圖像必過點(4,1)，再由反函數(shù)定義知函數(shù)y= f(x+4)的圖像必過點(1,4
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