復(fù)合函數(shù)概念精析-展示頁(yè)
2025-07-06 00:15本頁(yè)面
【正文】 函數(shù)。f(x)b它不是泛指把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)隨意地結(jié)合在一起，例如用四則運(yùn)算把它們結(jié)合起來(lái)得到的形如a由于上述定義中對(duì)“復(fù)合”的定義沒(méi)有明確界定，因而很多同學(xué)對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念似是而非，含混不清，為此，我們精讀這個(gè)定義，字斟句酌，糾錯(cuò)補(bǔ)缺，以使我們正確理解復(fù)合函數(shù)的概念。一、 復(fù)合函數(shù)的概念我們見(jiàn)到的復(fù)合函數(shù)的描述性定義是：如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，即y=f(u)，u=g(x)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f［g(x)］叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量。復(fù)合函數(shù)概念精析藍(lán)田縣洩湖中學(xué)王錦鋒復(fù)合函數(shù)概念精析復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)深化函數(shù)概念，提高運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的重要工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是歷屆高考?？疾凰サ臒狳c(diǎn)。但高中數(shù)學(xué)教材未作介紹，而其他教輔材料上也僅給出描述性的非嚴(yán)格定義，因此，高一數(shù)學(xué)教學(xué)與高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中介紹有關(guān)內(nèi)容很有必要。例如y=sin 2x它與y=sin x不同，不是基本初等函數(shù)，而是由三角函數(shù)y=sin u和一次函數(shù)u=2x經(jīng)過(guò)“復(fù)合”而成的一個(gè)函數(shù)。 由字面理解“復(fù)合”本來(lái)是指“合在一起，結(jié)合起來(lái)”的意思，但在復(fù)合函數(shù)的定義中，對(duì)復(fù)合步驟的方式有特殊的約定。f(x)177。g(x)或ab這里的幾個(gè)映射可以相同，也可以不同，但只能是常數(shù)與基本初等函數(shù)間進(jìn)行的冪的運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算，三角運(yùn)算，反三角運(yùn)算。例如，復(fù)合函數(shù)y=sin 2x是自變量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)sin 2x。為了敘述和應(yīng)用的方便，我們通常用“層”來(lái)描述上述不同的映射所對(duì)應(yīng)的函數(shù)。這里外層函數(shù)的映射法則f和內(nèi)層函數(shù)的映射法則g構(gòu)作的復(fù)合函數(shù)的映射法則稱為復(fù)合映射fg（注意：不能把fg讀作“f乘g”，因?yàn)閺?fù)合映射不具有交換律，即fg≠gf，這是復(fù)合映射很重要的一個(gè)基本特征）。 從函數(shù)定義理解既然函數(shù)y=f［g(x)］可視為函數(shù)y=f(u)和函數(shù)u=g(x)復(fù)合得到，因而它們都必須符合函數(shù)的定義，這才是復(fù)合函數(shù)定義的關(guān)鍵所在。設(shè)函數(shù)u=g(x)的定義域是D，值域是M。從“復(fù)合”中我們發(fā)現(xiàn)內(nèi)層函數(shù)u=g(x)具有二重性：一方面它是自變量x的函數(shù)，當(dāng)x∈D時(shí)，則有g(shù)(x)∈M；另一方面它又是函數(shù)y=f(u)的自變量，當(dāng)g(x)=u∈N時(shí)，則有y=f(u)∈R。MNф是復(fù)合函數(shù)的一個(gè)必要但不充分的條件，也就是說(shuō)，函數(shù)y=f(u)的定義域N，既受到外層函數(shù)的映射法則f的制約，又受到內(nèi)層函數(shù)u=g(x)的值域M的限定。有的同學(xué)不加分析地認(rèn)為任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，事實(shí)卻不然，例如y= ln ( sin x –2),y=arc cos(x+2)等都不是復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閥=ln u是自然對(duì)數(shù)，定義域N必須符合u 0 (u∈N),但u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有MN=｛u︱u0｝｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。據(jù)此，反思前面給出的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。為此，我們把定義補(bǔ)充為：如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=g(x)，且對(duì)于x值所對(duì)應(yīng)的u值，函數(shù)y=f(u)是有定義的, 即y=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，MN=ф,則y關(guān)于x的函數(shù)y= f［g(x)］叫做f和g的復(fù)合函數(shù)。這一獨(dú)特的發(fā)生過(guò)程，不僅給出了復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，使我們能迅速判斷已知函數(shù)式是不是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，也使我們明白復(fù)合函數(shù)不是一類新的獨(dú)立的基本初等函數(shù)，而是幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的特殊構(gòu)造，因而使我們能從參與復(fù)合的簡(jiǎn)單函數(shù)的性態(tài)研究復(fù)合函數(shù)的相應(yīng)屬性。 先看復(fù)合。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復(fù)合過(guò)程可記為y=f(u)=f
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