復(fù)合函數(shù)概念精析-wenkub
2023-07-12 00:15:26 本頁面
【正文】 復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，使我們能迅速判斷已知函數(shù)式是不是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，也使我們明白復(fù)合函數(shù)不是一類新的獨(dú)立的基本初等函數(shù)，而是幾個(gè)簡單函數(shù)的特殊構(gòu)造，因而使我們能從參與復(fù)合的簡單函數(shù)的性態(tài)研究復(fù)合函數(shù)的相應(yīng)屬性。據(jù)此，反思前面給出的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。MNф是復(fù)合函數(shù)的一個(gè)必要但不充分的條件，也就是說，函數(shù)y=f(u)的定義域N，既受到外層函數(shù)的映射法則f的制約，又受到內(nèi)層函數(shù)u=g(x)的值域M的限定。設(shè)函數(shù)u=g(x)的定義域是D，值域是M。這里外層函數(shù)的映射法則f和內(nèi)層函數(shù)的映射法則g構(gòu)作的復(fù)合函數(shù)的映射法則稱為復(fù)合映射fg（注意：不能把fg讀作“f乘g”，因?yàn)閺?fù)合映射不具有交換律，即fg≠gf，這是復(fù)合映射很重要的一個(gè)基本特征）。例如，復(fù)合函數(shù)y=sin 2x是自變量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)sin 2x。bf(x)177。例如y=sin 2x它與y=sin x不同，不是基本初等函數(shù)，而是由三角函數(shù)y=sin u和一次函數(shù)u=2x經(jīng)過“復(fù)合”而成的一個(gè)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)概念精析藍(lán)田縣洩湖中學(xué)王錦鋒復(fù)合函數(shù)概念精析復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)深化函數(shù)概念，提高運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題能力的重要工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是歷屆高考常考不衰的熱點(diǎn)。由于上述定義中對“復(fù)合”的定義沒有明確界定，因而很多同學(xué)對復(fù)合函數(shù)的概念似是而非，含混不清，為此，我們精讀這個(gè)定義，字斟句酌，糾錯(cuò)補(bǔ)缺，以使我們正確理解復(fù)合函數(shù)的概念。bg(x)的函數(shù)，而是專指把幾個(gè)映射，像工廠中的生產(chǎn)流水線，依先后順序合在一起，對同一自變量逐次映射構(gòu)作的一個(gè)復(fù)合映射確定的函數(shù)。因此有人說復(fù)合函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。有人形容復(fù)合映射fg是具有傳遞性的兩個(gè)映射f和g的鏈條，可以幫助我們理解復(fù)合函數(shù)的內(nèi)涵。再設(shè)y=f(u)的定義域是N，值域是R，則D、M、N、R都是非空的數(shù)集。只看一面，不看另一面就會犯概念的錯(cuò)誤。它忽視了構(gòu)造復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］過程中各層子函數(shù)及它們復(fù)合后的整體都必須適合函數(shù)的定義。 從穿脫原理理解 穿脫原理是復(fù)合函數(shù)與簡單函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，由它可將簡單函數(shù)構(gòu)造成復(fù)合函數(shù)，也可將復(fù)合函數(shù)分拆為簡單函數(shù)。再看分拆。例如復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、極值，求反函數(shù)時(shí)都需要它，一些重要運(yùn)算，如求導(dǎo)、微分更必須依靠它由。 （1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的定義域。 （2）已知函數(shù)y = f (x) 的定義域，求復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的定義域。 實(shí)質(zhì)是從已知復(fù)合函數(shù)中x的取值范圍，求出這個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量的范圍。 （1）已知中間變量，求復(fù)合函數(shù)。例 已知函數(shù)f ( x ) =，求函數(shù)f［f(x)］的表達(dá)式。解：設(shè)cos x –1 = t,則cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，故 f(x) = (x+1) ， (–2≤ x ≤0) 。解：由已知用–x代換x，由于n為奇數(shù)，有a f(–x)+ f(x) = –bx 。例 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函數(shù)f (x3) 。解：∵x ∴＜sin x≤1.又∵ y=arc cos u是減函數(shù)。例如函數(shù)y=lg cosx,可拆成y=lgu，u=cosx,易知外層函數(shù)y=lgx不具有奇偶性，但內(nèi)層函數(shù)u=cosx是偶函數(shù)，由定義可知y=lg cosx是偶函數(shù)。記為“內(nèi)奇外奇則奇”，“內(nèi)奇外偶則偶”。 定理1當(dāng)y=f(u),u=g(u)均為增函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù) y=f［g(x)］為增函數(shù)；當(dāng)y=f(u) ,u=g(
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