復(fù)合函數(shù)概念精析-wenkub.com
2025-06-24 00:15 本頁(yè)面
【正文】 綜上所述，只有通過我們做大量的習(xí)題，才能掌握復(fù)合函數(shù)的概念及性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。而函數(shù)y= f［g(x)］不是f［g(x)］的反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x不對(duì)稱，嚴(yán)格地說它們是關(guān)于中間變量u=g(x)成反函數(shù)關(guān)系，它們的圖像應(yīng)由外層函數(shù)的反函數(shù)關(guān)系結(jié)合內(nèi)層函數(shù)施行相應(yīng)的幾何變換或代數(shù)變換而得到。 由于復(fù)合映射fg不具有交換律，即fg≠gf，所以它們是兩個(gè)不同的復(fù)合函數(shù)，不是同一個(gè)復(fù)合函數(shù)。 四、復(fù)合函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言 對(duì)復(fù)合函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言，應(yīng)從函數(shù)定義與函數(shù)符號(hào)出發(fā)準(zhǔn)確理解，不可誤讀誤寫誤用。當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］可視為由常見的簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過平移，伸縮，對(duì)稱等變換得到時(shí)，可由簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像施行圖像變換作出復(fù)合函數(shù)的圖像。注意由原函數(shù)的值域?qū)懗鏊姆春瘮?shù)的定義域。例 已知f (2x+1) = ,求函數(shù)f (x) 的最值。例已知0 ＜a ≤,求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最值。特殊情形可由下列定理判斷： 定理1 若外層函數(shù)y= f( u )是以T為周期的函數(shù)，且u=ax+b則復(fù)合函數(shù)y=f(ax+b) 是周期函數(shù)，周期為 定理2 若外層函數(shù)y= f ( u )為周期函數(shù)，且函數(shù)y= f( u )為偶函數(shù)，u=|x|，則復(fù)合函數(shù)y= f(|x| )是周期函數(shù)。 求函數(shù)周期 （1）由周期函數(shù)的定義易知關(guān)鍵是最內(nèi)層函數(shù)是否有周期性。只有復(fù)合函數(shù)的各層子函數(shù)在定義域上均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)才具有單調(diào)性，并可用下列法則判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。 定理2 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)u= (x)為奇函數(shù)時(shí)，若外層函數(shù)y=f(u)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為奇函數(shù)；若外層函數(shù)y=f(u)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)。容易產(chǎn)生的一類負(fù)遷移是：認(rèn)為構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每層簡(jiǎn)單函數(shù)都要有奇偶性時(shí)，復(fù)合函數(shù)才有奇偶性，這是錯(cuò)誤的。例8．求函數(shù)y= arc cos (sin x) (x)的值域。先由已知復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)，再由原函數(shù)求另一復(fù)合函數(shù)。例 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n為奇數(shù)，求函數(shù) f ( x )。例 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 。函數(shù)的映射法則是對(duì)自變量單x定義的，故復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式最終也須將表達(dá)式用單x的運(yùn)算表示。解：由100≤x≤1000 得，2≤ lg x ≤3.∴1≤lg x –1≤2 ∴ ≤ ≤1.故函數(shù)y = f (x) 的定義域是［,1］. 求函數(shù)表達(dá)式 中學(xué)階段求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式大致可歸納為兩種題型，一是已知各層子函數(shù)的映射法則，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式；二是已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。解：由題設(shè)知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤ x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數(shù)y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)y=有意義，須滿足log≥0 （使根式有意義）,log0 （使對(duì)數(shù)有意義）,x+10 （使對(duì)數(shù)有意義）,解得 –1 ≤ x – 或 x ≤ 1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋郇C1, –）∪（,1）。 求定義域 因?yàn)槎鄬訌?fù)合映射結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使求復(fù)合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。 穿脫原理從發(fā)生過程深化了復(fù)合函數(shù)的概念，在復(fù)合函數(shù)的性態(tài)研究中具有重要作用。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復(fù)合過程可記為y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。這一獨(dú)特的發(fā)生過程，不僅給出了
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