復合函數(shù)概念精析-wenkub.com
2025-06-24 00:15 本頁面
【正文】 綜上所述，只有通過我們做大量的習題，才能掌握復合函數(shù)的概念及性質，為后續(xù)學習打下堅實的基礎。而函數(shù)y= f［g(x)］不是f［g(x)］的反函數(shù)，它們的圖像關于直線y=x不對稱，嚴格地說它們是關于中間變量u=g(x)成反函數(shù)關系，它們的圖像應由外層函數(shù)的反函數(shù)關系結合內層函數(shù)施行相應的幾何變換或代數(shù)變換而得到。 由于復合映射fg不具有交換律，即fg≠gf，所以它們是兩個不同的復合函數(shù)，不是同一個復合函數(shù)。 四、復合函數(shù)的符號語言 對復合函數(shù)的符號語言，應從函數(shù)定義與函數(shù)符號出發(fā)準確理解，不可誤讀誤寫誤用。當復合函數(shù)y=f［g(x)］可視為由常見的簡單函數(shù)經過平移，伸縮，對稱等變換得到時，可由簡單函數(shù)的圖像施行圖像變換作出復合函數(shù)的圖像。注意由原函數(shù)的值域寫出它的反函數(shù)的定義域。例 已知f (2x+1) = ,求函數(shù)f (x) 的最值。例已知0 ＜a ≤,求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最值。特殊情形可由下列定理判斷： 定理1 若外層函數(shù)y= f( u )是以T為周期的函數(shù)，且u=ax+b則復合函數(shù)y=f(ax+b) 是周期函數(shù)，周期為 定理2 若外層函數(shù)y= f ( u )為周期函數(shù)，且函數(shù)y= f( u )為偶函數(shù)，u=|x|，則復合函數(shù)y= f(|x| )是周期函數(shù)。 求函數(shù)周期 （1）由周期函數(shù)的定義易知關鍵是最內層函數(shù)是否有周期性。只有復合函數(shù)的各層子函數(shù)在定義域上均為嚴格單調函數(shù)時，復合函數(shù)才具有單調性，并可用下列法則判斷復合函數(shù)的單調性。 定理2 當內層函數(shù)u= (x)為奇函數(shù)時，若外層函數(shù)y=f(u)為奇函數(shù)，則復合函數(shù)y=f［(x)］為奇函數(shù)；若外層函數(shù)y=f(u)為偶函數(shù)，則復合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)。容易產生的一類負遷移是：認為構成復合函數(shù)的每層簡單函數(shù)都要有奇偶性時，復合函數(shù)才有奇偶性，這是錯誤的。例8．求函數(shù)y= arc cos (sin x) (x)的值域。先由已知復合函數(shù)求原函數(shù)，再由原函數(shù)求另一復合函數(shù)。例 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n為奇數(shù)，求函數(shù) f ( x )。例 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 。函數(shù)的映射法則是對自變量單x定義的，故復合函數(shù)的表達式最終也須將表達式用單x的運算表示。解：由100≤x≤1000 得，2≤ lg x ≤3.∴1≤lg x –1≤2 ∴ ≤ ≤1.故函數(shù)y = f (x) 的定義域是［,1］. 求函數(shù)表達式 中學階段求復合函數(shù)表達式大致可歸納為兩種題型，一是已知各層子函數(shù)的映射法則，求復合函數(shù)的表達式；二是已知復合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復合函數(shù)的表達式。解：由題設知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤ x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數(shù)y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)y=有意義，須滿足log≥0 （使根式有意義）,log0 （使對數(shù)有意義）,x+10 （使對數(shù)有意義）,解得 –1 ≤ x – 或 x ≤ 1,故所求函數(shù)的定義域為［–1, –）∪（,1）。 求定義域 因為多層復合映射結構復雜，使求復合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。 穿脫原理從發(fā)生過程深化了復合函數(shù)的概念，在復合函數(shù)的性態(tài)研究中具有重要作用。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復合過程可記為y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。這一獨特的發(fā)生過程，不僅給出了
范文總結相關推薦
鄂ICP備17016276號-1