【正文】 再看分拆。再設y=f(u)的定義域是N，值域是R，則D、M、N、R都是非空的數集。bf(x)177。設函數u=g(x)的定義域是D，值域是M。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復合過程可記為y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。解：由題設知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤ x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復合函數的定義域，求外層函數的定義域。例 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n為奇數，求函數 f ( x )。 定理2 當內層函數u= (x)為奇函數時，若外層函數y=f(u)為奇函數，則復合函數y=f［(x)］為奇函數；若外層函數y=f(u)為偶函數，則復合函數y=f［(x)］為偶函數。例已知0 ＜a ≤,求函數y=(sinx+a)(cosx+a)的最值。 四、復合函數的符號語言 對復合函數的符號語言，應從函數定義與函數符號出發(fā)準確理解，不可誤讀誤寫誤用。 綜上所述，只有通過我們做大量的習題，才能掌握復合函數的概念及性質，為后續(xù)學習打下堅實的基礎。當復合函數y=f［g(x)］可視為由常見的簡單函數經過平移，伸縮，對稱等變換得到時，可由簡單函數的圖像施行圖像變換作出復合函數的圖像。特殊情形可由下列定理判斷： 定理1 若外層函數y= f( u )是以T為周期的函數，且u=ax+b則復合函數y=f(ax+b) 是周期函數，周期為 定理2 若外層函數y= f ( u )為周期函數，且函數y= f( u )為偶函數，u=|x|，則復合函數y= f(|x| )是周期函數。容易產生的一類負遷移是：認為構成復合函數的每層簡單函數都要有奇偶性時，復合函數才有奇偶性，這是錯誤的。例 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 。解：要使函數y=有意義，須滿足log≥0 （使根式有意義）,log0 （使對數有意義）,x+10 （使對數有意義）,解得 –1 ≤ x – 或 x ≤ 1,故所求函數的定義域為［–1, –）∪（,1）。這一獨特的發(fā)生過程，不僅給出了復合函數的結構特征，使我們能迅速判斷已知函數式是不是一個復合函數，也使我們明白復合函數不是一類新的獨立的基本初等函數，而是幾個簡單函數的特殊構造，因而使我們能從參與復合的簡單函數的性態(tài)研究復合函數的相應屬性。這里外層函數的映射法則f和內層函數的映射法則g構作的復合函數的映射法則稱為復合映射fg（注意：不能把fg讀作“f乘g”，因為復合映射不具有交換律，即fg≠gf，這是復合映射很重要的一個基本特征）。例如y=sin 2x它與y=sin x不同，不是基本初等函數，而是由三角函數y=sin u和一次函數u=2x經過“復合”而成的一個函數。g(x)的函數，而是專指把幾個映射，像工廠中的生產流水線，依先后順序合在一起，對同一自變量逐次映射構作的一個復合映射確定的函數。只看一面，不看另一面就會犯概念的錯誤。例如復合函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、極值，求反函數時都需要它，一些重要運算，如求導、微分更必須依靠它由。 （1）已知中間變量，求復合函數。例 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函數f (x3) 。 定理1當y=f(u),u=g(u)均為增函數時，則復合函數 y=f［g(x)］為增函數；當y=f(u) ,u=g(u)均為減函數時，則復合函數y=f［g(x)］為增函數，簡記為“同向為增”。解：令t = 2x+1，則x = ，于是得 f ( t ) =，∴