復(fù)合函數(shù)概念精析-免費(fèi)閱讀
【正文】 錯(cuò)解：因函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，而函數(shù)y=f(x+4)的圖像可由函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，故y=f(x+4)的圖像必過(guò)點(diǎn)(4,1)，再由反函數(shù)定義知函數(shù)y= f(x+4)的圖像必過(guò)點(diǎn)(1,4) 。 f(x)是簡(jiǎn)單函數(shù)的記號(hào)，而f(x)則為復(fù)合函數(shù)的記號(hào)，y= f(x)由y=f(u)，u= x復(fù)合而成。解：y=2arc tan ( 2x ),x=(tan+ ) 故 y = tan+又 ＜arc tan ( 2x )＜，＜2arc tan ( 2x )＜，故所求反函數(shù)為y = tan+ (＜x＜)。 （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)的最值。 例如y=cosx,由y=u,u=cosx復(fù)合得到，內(nèi)層函數(shù)u=cosx為周期函數(shù)，T=2л，則y=cos仍為周期函數(shù)，但Tˊ=л. 若外層函數(shù)y= f( u )為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)u=g(x)是以T為周期的函數(shù)，并且有最小正周期T，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］是周期函數(shù)，并且有最小正周期T。 判斷函數(shù)單調(diào)性 通法仍然是由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷?！?≤ arc cos(sin x) ＜. 故新求函數(shù)的值域是［0，)。結(jié)合已知條件，可解得f(x) = ，而a≠1，n為奇數(shù)，故f(x) = 。解：∵f ( x ) =∴f［f(x)］= f() = = （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)。（或內(nèi)層函數(shù)的值域）。 將已知復(fù)合函數(shù)正確地拆成幾個(gè)常見的簡(jiǎn)單函數(shù)，根據(jù)使函數(shù)解析式有定義的要求，由外到內(nèi)列全限制條件對(duì)應(yīng)的不等式，所得不等式組的解集就是復(fù)合函數(shù)的定義域。例如函數(shù)y= ln sin可以從外層函數(shù)開始逐層拆為簡(jiǎn)單函數(shù)，每拆一層，設(shè)一個(gè)中間變量，即最外層函數(shù)記為y=ln u，第二層記為u=sin v，第三層記為v=t，第四層記為t=x+1。為此，我們把定義補(bǔ)充為：如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=g(x)，且對(duì)于x值所對(duì)應(yīng)的u值，函數(shù)y=f(u)是有定義的, 即y=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，MN=ф,則y關(guān)于x的函數(shù)y= f［g(x)］叫做f和g的復(fù)合函數(shù)。從“復(fù)合”中我們發(fā)現(xiàn)內(nèi)層函數(shù)u=g(x)具有二重性：一方面它是自變量x的函數(shù)，當(dāng)x∈D時(shí)，則有g(shù)(x)∈M；另一方面它又是函數(shù)y=f(u)的自變量，當(dāng)g(x)=u∈N時(shí)，則有y=f(u)∈R。為了敘述和應(yīng)用的方便，我們通常用“層”來(lái)描述上述不同的映射所對(duì)應(yīng)的函數(shù)。g(x)或a但高中數(shù)學(xué)教材未作介紹，而其他教輔材料上也僅給出描述性的非嚴(yán)格定義，因此，高一數(shù)學(xué)教學(xué)與高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中介紹有關(guān)內(nèi)容很有必要。它不是泛指把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)隨意地結(jié)合在一起，例如用四則運(yùn)算把它們結(jié)合起來(lái)得到的形如a自變量像被加工的零件依次通過(guò)第一個(gè)映射后到第二個(gè)映射，一直到通過(guò)全部映射。除前面對(duì)復(fù)合映射結(jié)構(gòu)特征的分析外，我們還須從定義域和值域都是非空的數(shù)集出發(fā)，考察復(fù)合函數(shù)定義的相應(yīng)要求。同理,y=arccos(x+2)也不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（它們都不是函數(shù)）。例如由y=3，u=sin v , v=,欲得到復(fù)合函數(shù)，可從外層函數(shù)開始，逐次代換添加映射，每代換一次增加一個(gè)映射，即y=3=3=3，最后得到y(tǒng)關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)y=3。探討中，最關(guān)鍵的是注意復(fù)合映射的多層制約，是否使符合函數(shù)仍有定義，研究它的每一層映射對(duì)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的影響。例 已知函數(shù)y = f (x) 的定義域是［0,1］，求函數(shù) y = f (sin x–cos x )的定義域。每次代換只看一層，只代換一個(gè)中間變量。 中學(xué)只涉及簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，因此，關(guān)鍵是將所求復(fù)合函數(shù)看作未知變量，根據(jù)函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征采用代換方法建立方程組，消元解之。 求值域 在復(fù)合函數(shù)定義域上，先求出最內(nèi)層函數(shù)的值域，再用它作中間函數(shù)的“自變量”求出中間函數(shù)
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