復(fù)合函數(shù)概念精析-在線瀏覽
2025-08-14 00:15本頁面
【正文】 ［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。例如函數(shù)y= ln sin可以從外層函數(shù)開始逐層拆為簡(jiǎn)單函數(shù)，每拆一層，設(shè)一個(gè)中間變量，即最外層函數(shù)記為y=ln u，第二層記為u=sin v，第三層記為v=t，第四層記為t=x+1。 穿脫原理從發(fā)生過程深化了復(fù)合函數(shù)的概念，在復(fù)合函數(shù)的性態(tài)研究中具有重要作用。 二、 復(fù)合函數(shù)初等性質(zhì)舉要 在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，極值與最值。 求定義域 因?yàn)槎鄬訌?fù)合映射結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使求復(fù)合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。 將已知復(fù)合函數(shù)正確地拆成幾個(gè)常見的簡(jiǎn)單函數(shù)，根據(jù)使函數(shù)解析式有定義的要求，由外到內(nèi)列全限制條件對(duì)應(yīng)的不等式，所得不等式組的解集就是復(fù)合函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)y=有意義，須滿足log≥0 （使根式有意義）,log0 （使對(duì)數(shù)有意義）,x+10 （使對(duì)數(shù)有意義）,解得 –1 ≤ x – 或 x ≤ 1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋郇C1, –）∪（,1）。 因?yàn)閒代表同一映射，只需用代換法則，先將原函數(shù)的定義域?qū)懗蓌的不等式，再將x換成中間變量 g ( x )，解所得不等式即可。解：由題設(shè)知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤ x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數(shù)y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。（或內(nèi)層函數(shù)的值域）。解：由100≤x≤1000 得，2≤ lg x ≤3.∴1≤lg x –1≤2 ∴ ≤ ≤1.故函數(shù)y = f (x) 的定義域是［,1］. 求函數(shù)表達(dá)式 中學(xué)階段求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式大致可歸納為兩種題型，一是已知各層子函數(shù)的映射法則，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式；二是已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。 用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式代換外層函數(shù)的自變量解出。函數(shù)的映射法則是對(duì)自變量單x定義的，故復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式最終也須將表達(dá)式用單x的運(yùn)算表示。解：∵f ( x ) =∴f［f(x)］= f() = = （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)。例 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 。 （3）已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。例 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n為奇數(shù)，求函數(shù) f ( x )。結(jié)合已知條件，可解得f(x) = ，而a≠1，n為奇數(shù)，故f(x) = 。先由已知復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)，再由原函數(shù)求另一復(fù)合函數(shù)。解：設(shè) t=x+3,則x=t–3,有f ( t ) = (t3)+ 2 (t3)+1 = (t2)，∴f(x) = (x2)，故f (x3) = ［(x3)2］=（x5）。例8．求函數(shù)y= arc cos (sin x) (x)的值域?！?≤ arc cos(sin x) ＜. 故新求函數(shù)的值域是［0，)。容易產(chǎn)生的一類負(fù)遷移是：認(rèn)為構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每層簡(jiǎn)單函數(shù)都要有奇偶性時(shí)，復(fù)合函數(shù)才有奇偶性，這是錯(cuò)誤的。 當(dāng)復(fù)合函數(shù)各層子函數(shù)都有奇偶性時(shí)，可用下列法則判斷它的奇偶性。 定理2 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)u= (x)為奇函數(shù)時(shí)，若外層函數(shù)y=f(u)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為奇函數(shù)；若外層函數(shù)y=f(u)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)。 判斷函數(shù)單調(diào)性 通法仍然是由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷。只有復(fù)合函數(shù)的各層子函數(shù)在
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