復(fù)合函數(shù)概念精析(編輯修改稿)
2024-07-24 00:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x ≤2k+, 或 （2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數(shù)y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。 實(shí)質(zhì)是從已知復(fù)合函數(shù)中x的取值范圍，求出這個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量的范圍。（或內(nèi)層函數(shù)的值域）。例已知函數(shù)y = f ()的定義域是［100,1000］，求函數(shù)y = f (x ) 的定義域。解：由100≤x≤1000 得，2≤ lg x ≤3.∴1≤lg x –1≤2 ∴ ≤ ≤1.故函數(shù)y = f (x) 的定義域是［,1］. 求函數(shù)表達(dá)式 中學(xué)階段求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式大致可歸納為兩種題型，一是已知各層子函數(shù)的映射法則，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式；二是已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。 （1）已知中間變量，求復(fù)合函數(shù)。 用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式代換外層函數(shù)的自變量解出。每次代換只看一層，只代換一個(gè)中間變量。函數(shù)的映射法則是對(duì)自變量單x定義的，故復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式最終也須將表達(dá)式用單x的運(yùn)算表示。例 已知函數(shù)f ( x ) =，求函數(shù)f［f(x)］的表達(dá)式。解：∵f ( x ) =∴f［f(x)］= f() = = （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)。 關(guān)鍵是溝通中間變量與復(fù)合函數(shù)表達(dá)式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)用中間變量的整體作自變量的映射法則，常用配湊法，換元法，待定系數(shù)法等。例 已知f ( cos x –1) = cosx，求f ( x ) 。解：設(shè)cos x –1 = t,則cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，故 f(x) = (x+1) ， (–2≤ x ≤0) 。 （3）已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。 中學(xué)只涉及簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，因此，關(guān)鍵是將所求復(fù)合函數(shù)看作未知變量，根據(jù)函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征采用代換方法建立方程組，消元解之。例 已知a f(x)+ f(–x) = bx , 其中a≠1，n為奇數(shù)，求函數(shù) f ( x )。解：由已知用–x代換x，由于n為奇數(shù)，有a f(–x)+ f(x) = –bx 。結(jié)合已知條件，可解得f(x) = ，而a≠1，n為奇數(shù)，故f(x) = 。 （4）已知復(fù)合函數(shù)，求與外層函數(shù)映射法則相同的另一復(fù)合函數(shù)。先由已知復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)，再由原函數(shù)求另一復(fù)合函數(shù)。例 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函數(shù)f (x3) 。解：設(shè) t=x+3,則x=t–3,有f ( t ) = (t3)+ 2 (t3)+1 = (t2)，∴f(x) = (x2)，故f (x3) = ［(x3)2］=（x5）。 求值域 在復(fù)合函數(shù)定義域上，先求出最內(nèi)層函數(shù)的值域，再用它作中間函數(shù)的“自變量”求出中間函數(shù)值域，依次外推直至求出最外層函數(shù)的值域。例8．求函數(shù)y= arc cos (sin x) (x)的值域。解：∵x ∴＜sin x≤1.又∵ y=arc cos u是減函數(shù)?！?≤ arc cos(sin x) ＜. 故新求函數(shù)的值域是［0，)。 判斷函數(shù)奇偶性 通法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷。容易產(chǎn)生的一類負(fù)遷移是：認(rèn)為構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每層簡(jiǎn)單函數(shù)都要有奇偶性時(shí)，復(fù)合函數(shù)才有奇偶性，這是錯(cuò)誤的。例如函數(shù)y=lg cosx,可拆成y=lgu，u=cosx,易知外層函數(shù)y=lgx不具有奇偶性，但內(nèi)層函數(shù)u=cosx是偶函數(shù)，由定義可知y=lg cosx是偶函數(shù)。 當(dāng)復(fù)合函數(shù)各
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