復(fù)合函數(shù)的零根探究(編輯修改稿)
2025-05-04 20:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 象知：f(x)= 必有兩個(gè)解；f(x)= 兩解時(shí)才能保證函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)，要保證函數(shù)f(x)= 兩解必有：k≥。圖（3）1k0x1y（2）再畫(huà)出k0時(shí)y=f(x)的圖象，如圖（3）所示，由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=1,由圖象知：當(dāng)k1時(shí)直線(xiàn) f(x)=1與y=f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，無(wú)法滿(mǎn)足題意要求，只有當(dāng)k≤1時(shí)直線(xiàn) f(x)=1與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=或x=,由圖象知：f(x)= 要有兩個(gè)解，必須滿(mǎn)足≥k，化簡(jiǎn)得：恒成立；f(x)= 恒有兩解；∴當(dāng)k≤1時(shí)函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)。綜上所述：k的范圍為k≤1 或k≥（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對(duì)任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為 解：令f(x)+＝c，則f(c)=3,在上式中令x=c，則f(c)+=c，＝c3，解得c=2，故f(x)=2－，2－＝2+，＝，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=和y=的圖象，可知這兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即（4，2）和（16，4），則方程f(x)=2+的解集為{4，16}例4. 已知函數(shù)f(x)=x+2，如果關(guān)于x的方程f(||)+t()=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求t的范圍。分析：此方程可看作是函數(shù)y=f(g(x))與g(x)= ||復(fù)合而成，方程的根也可看作是函數(shù)的零點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題的解決仍然采用數(shù)形結(jié)合方法。解：令||＝m，則f(m)+t(=0，m+2+t
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