復(fù)合函數(shù)概念精析-文庫(kù)吧
2025-06-12 00:15 本頁(yè)面
【正文】 u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有MN=｛u︱u0｝｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。同理,y=arccos(x+2)也不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（它們都不是函數(shù)）。據(jù)此，反思前面給出的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｋ鲆暳藰?gòu)造復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］過(guò)程中各層子函數(shù)及它們復(fù)合后的整體都必須適合函數(shù)的定義。為此，我們把定義補(bǔ)充為：如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=g(x)，且對(duì)于x值所對(duì)應(yīng)的u值，函數(shù)y=f(u)是有定義的, 即y=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，MN=ф,則y關(guān)于x的函數(shù)y= f［g(x)］叫做f和g的復(fù)合函數(shù)。 從結(jié)構(gòu)特征理解除最內(nèi)層函數(shù)允許對(duì)自變量施行加、乘運(yùn)算外，每一次復(fù)合都是把內(nèi)層函數(shù)的整體作為自變量施行新的映射，這樣，像穿衣服一樣，從內(nèi)到外逐次添加映射，直至構(gòu)造出所需函數(shù)。這一獨(dú)特的發(fā)生過(guò)程，不僅給出了復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，使我們能迅速判斷已知函數(shù)式是不是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，也使我們明白復(fù)合函數(shù)不是一類(lèi)新的獨(dú)立的基本初等函數(shù)，而是幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的特殊構(gòu)造，因而使我們能從參與復(fù)合的簡(jiǎn)單函數(shù)的性態(tài)研究復(fù)合函數(shù)的相應(yīng)屬性。 從穿脫原理理解 穿脫原理是復(fù)合函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，由它可將簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)造成復(fù)合函數(shù)，也可將復(fù)合函數(shù)分拆為簡(jiǎn)單函數(shù)。 先看復(fù)合。例如由y=3，u=sin v , v=,欲得到復(fù)合函數(shù)，可從外層函數(shù)開(kāi)始，逐次代換添加映射，每代換一次增加一個(gè)映射，即y=3=3=3，最后得到y(tǒng)關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)y=3。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復(fù)合過(guò)程可記為y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。再看分拆。例如函數(shù)y= ln sin可以從外層函數(shù)開(kāi)始逐層拆為簡(jiǎn)單函數(shù)，每拆一層，設(shè)一個(gè)中間變量，即最外層函數(shù)記為y=ln u，第二層記為u=sin v，第三層記為v=t，第四層記為t=x+1。上述多次令中間變量進(jìn)行的代換，叫做連續(xù)代換或鎖鏈代換，實(shí)質(zhì)上是換元法。 穿脫原理從發(fā)生過(guò)程深化了復(fù)合函數(shù)的概念，在復(fù)合函數(shù)的性態(tài)研究中具有重要作用。例如復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、極值，求反函數(shù)時(shí)都需要它，一些重要運(yùn)算，如求導(dǎo)、微分更必須依靠它由。 二、 復(fù)合函數(shù)初等性質(zhì)舉要 在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見(jiàn)的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，極值與最值。探討中，最關(guān)鍵的是注意復(fù)合映射的多層制約，是否使符合函數(shù)仍有定義，研究它的每一層映射對(duì)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的影響。 求定義域 因?yàn)槎鄬訌?fù)合映射結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使求復(fù)合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。 （1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的定義域。 將已知復(fù)合函數(shù)正確地拆成幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單函數(shù)，根據(jù)使函數(shù)解析式有定義的要求，由外到內(nèi)列全限制條件對(duì)應(yīng)的不等式，所得不等式組的解集就是復(fù)合函數(shù)的定義域。例 函數(shù)y=的定義域。解：要使函數(shù)y=有意義，須滿(mǎn)足log≥0 （使根式有意義）,log0 （使對(duì)數(shù)有意義）,x+10 （使對(duì)數(shù)有意義）,解得 –1 ≤ x – 或 x ≤ 1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋郇C1, –）∪（,1）。 （2）已知函數(shù)y = f (x) 的定義域，求復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的定義域。 因?yàn)閒代表同一映射，只需用代換法則，先將原函數(shù)的定義域?qū)懗蓌的不等式，再將x換成中間變量 g ( x )，解所得不等式即可。例 已知函數(shù)y = f (x) 的定義域是［0,1］，求函數(shù) y = f (sin x–cos x )的定義域。解：由題設(shè)知，0≤sin x–cos x ≤1,即 0≤sin（x– ）≤1∴2k+≤
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