復合函數(shù)概念精析-文庫吧資料
2025-07-03 00:15本頁面
【正文】 求值域 在復合函數(shù)定義域上，先求出最內(nèi)層函數(shù)的值域，再用它作中間函數(shù)的“自變量”求出中間函數(shù)值域，依次外推直至求出最外層函數(shù)的值域。例 知f (x+3) = x+ 2x + 1 , 求函數(shù)f (x3) 。 （4）已知復合函數(shù)，求與外層函數(shù)映射法則相同的另一復合函數(shù)。解：由已知用–x代換x，由于n為奇數(shù)，有a f(–x)+ f(x) = –bx 。 中學只涉及簡單的函數(shù)方程，因此，關(guān)鍵是將所求復合函數(shù)看作未知變量，根據(jù)函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征采用代換方法建立方程組，消元解之。解：設cos x –1 = t,則cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，故 f(x) = (x+1) ， (–2≤ x ≤0) 。 關(guān)鍵是溝通中間變量與復合函數(shù)表達式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)用中間變量的整體作自變量的映射法則，常用配湊法，換元法，待定系數(shù)法等。例 已知函數(shù)f ( x ) =，求函數(shù)f［f(x)］的表達式。每次代換只看一層，只代換一個中間變量。 （1）已知中間變量，求復合函數(shù)。例已知函數(shù)y = f ()的定義域是［100,1000］，求函數(shù)y = f (x ) 的定義域。 實質(zhì)是從已知復合函數(shù)中x的取值范圍，求出這個復合函數(shù)的中間變量的范圍。例 已知函數(shù)y = f (x) 的定義域是［0,1］，求函數(shù) y = f (sin x–cos x )的定義域。 （2）已知函數(shù)y = f (x) 的定義域，求復合函數(shù)y=f［g(x)］的定義域。例 函數(shù)y=的定義域。 （1）已知復合函數(shù)的表達式，求復合函數(shù)的定義域。探討中，最關(guān)鍵的是注意復合映射的多層制約，是否使符合函數(shù)仍有定義，研究它的每一層映射對復合函數(shù)性質(zhì)的影響。例如復合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、極值，求反函數(shù)時都需要它，一些重要運算，如求導、微分更必須依靠它由。上述多次令中間變量進行的代換，叫做連續(xù)代換或鎖鏈代換，實質(zhì)上是換元法。再看分拆。例如由y=3，u=sin v , v=,欲得到復合函數(shù)，可從外層函數(shù)開始，逐次代換添加映射，每代換一次增加一個映射，即y=3=3=3，最后得到y(tǒng)關(guān)于x的復合函數(shù)y=3。 從穿脫原理理解 穿脫原理是復合函數(shù)與簡單函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，由它可將簡單函數(shù)構(gòu)造成復合函數(shù)，也可將復合函數(shù)分拆為簡單函數(shù)。 從結(jié)構(gòu)特征理解除最內(nèi)層函數(shù)允許對自變量施行加、乘運算外，每一次復合都是把內(nèi)層函數(shù)的整體作為自變量施行新的映射，這樣，像穿衣服一樣，從內(nèi)到外逐次添加映射，直至構(gòu)造出所需函數(shù)。它忽視了構(gòu)造復合函數(shù)y=f［g(x)］過程中各層子函數(shù)及它們復合后的整體都必須適合函數(shù)的定義。同理,y=arccos(x+2)也不能構(gòu)成復合函數(shù)（它們都不是函數(shù)）。只看一面，不看另一面就會犯概念的錯誤。要使y=f(u)仍然是函數(shù)，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定義域N必須有交集（非空數(shù)集）。再設y=f(u)的定義域是N，值域是R，則D、M、N、R都是非空的數(shù)集。除前面對復合映射結(jié)構(gòu)特征的分析外，我們還須從定義域和值域都是非空的數(shù)集出發(fā)，考察復合函數(shù)定義的相應要求。有人形容復合映射fg是具有傳遞性的兩個映射f和g的鏈條，可以幫助我們理解復合函數(shù)的內(nèi)涵。從外向內(nèi)看，函數(shù)y=f［g(x)］中稱f定義的函數(shù)y=f(u)為外層函數(shù)（外函數(shù)），稱g定義的函數(shù)u=g(x)為內(nèi)層函數(shù)（內(nèi)函數(shù)），且稱函數(shù)y=f［g(x)］為函數(shù)f和g復合一次得到。因此有人說復合函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。自變量像被加工的零件依次通過第一個映射后到第二個映射，一直到通過全部映射。g(x)的函數(shù)，而是專指把幾個映射，像工廠中的生產(chǎn)流水線，依先后順序合在一起，對同一自變量逐次映射構(gòu)作的一個復合映射確定的
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