復(fù)合函數(shù)概念精析(文件)
【正文】 u)均為減函數(shù)時，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)，簡記為“同向?yàn)樵觥?。?dāng)最內(nèi)層函數(shù)為周期函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)必為周期函數(shù)，但最小正周期可能改變。 求函數(shù)的最值 （1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的最值。解：y=(sinx+a)(cosx+a)=sinx cosx + a(sinx+cosx)+a=,令 t = sinx + cosx , 由sinx + cosx = sin(x+) 知 |t|≤,∴y = + at + a=(t + a)+ (a1),當(dāng)t=a時，y=(a1),當(dāng)t=時，y=a+a + 。解：令t = 2x+1，則x = ，于是得 f ( t ) =，∴ f ( x ) = = y (x∈R)，即 yx4x+(y3)= 0，當(dāng)y=0時，x= ；當(dāng)y≠0時，因x∈R,故= 16 –4y(y–3)≥0，∴1≤ y ≤4, 且當(dāng)x = 時,f(x)=4；當(dāng)x= 2時,f(x)= 1。例1 求函數(shù)y = 2 arctan ( 2x )的反函數(shù)。例1作函數(shù)y= 2 lg(x+1)2的圖像。 （1）f(x)與f(x)的區(qū)別。因而y=f［f(x)］與y=f［f(x)］也不是同一個函數(shù)；y=f［f(x)］=x,這里的x表示函數(shù)y=f(x)的值域中的任一個值，而y=f［f(x)］=x，這里的x卻表示函數(shù)y=f(x)的定義域中的任一個值。例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，則函數(shù)y= f(x+4)的圖像過點(diǎn)( )。15。正解：因y=f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，故y= f(x)的圖像應(yīng)過點(diǎn)(1,0)，又y=f(x+4)的圖像可由y=f(x)的圖像向左平移4個單位得到，所以y= f(x+4)的圖像應(yīng)由y= f(x)的圖像向左平移4個單位得到，故y= f(x+4)必過點(diǎn)(3,0)。 函數(shù)y= g［f(x)］是復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱。 （2）y=f［g(x)］與y=g［f(x)］的區(qū)別。圖像 略。 三、復(fù)合函數(shù)的圖像 作復(fù)合函數(shù)的圖像一般都比較繁雜，這里僅介紹用圖像變換法作復(fù)合函數(shù)的圖像。一般先逐層求出各層子函數(shù)的反函數(shù)，后復(fù)合為原函數(shù)的反函數(shù)，或用穿脫原則從外到內(nèi)依次取原映射的逆映射。 先由復(fù)合函數(shù)求得原函數(shù)，再求原函數(shù)的最值。 若外層函數(shù)y= f ( u )與內(nèi)層函數(shù)u= g( x )都是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的值域?yàn)殚_區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)無最值；值域在閉區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)既有最大值，也有最小值；值域?yàn)榘腴_半閉區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)只有最大值而無最小值，或只有最小值而無最大值。 （2）當(dāng)內(nèi)層函數(shù)無周期性，外層函數(shù)有周期性時，應(yīng)由周期函數(shù)的定義判斷。 以上定理可推廣至n層復(fù)合函數(shù)，即： 定理3 若有限次復(fù)合函數(shù)的每層子函數(shù)均有意義且嚴(yán)格單調(diào)，則減函數(shù)的層數(shù)為偶數(shù)時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；減函數(shù)的層數(shù)為奇數(shù)時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。但若其中某層中間變量沒有單調(diào)性時，則復(fù)合函數(shù)無單調(diào)性。 定理1 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)u=(x)為偶函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)y=f［(x)］為偶函數(shù)（此時f可為任意函數(shù)），簡記為“內(nèi)偶則偶”。 判斷函數(shù)奇偶性 通法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷。 求值域 在復(fù)合函數(shù)定義域上，先求出最內(nèi)層函數(shù)的值域，再用它作中間函數(shù)的“自變量”求出中間函數(shù)值域，依次外推直至求出最外層函數(shù)的值域。 （4）已知復(fù)合函數(shù)，求與外層函數(shù)映射法則相同的另一復(fù)合函數(shù)。 中學(xué)只涉及簡單的函數(shù)方程，因此，關(guān)鍵是將所求復(fù)合函數(shù)看作未知變量，根據(jù)函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征采用代換方法建立方程組，消元解之。 關(guān)鍵是溝通中間變量與復(fù)合函數(shù)表達(dá)式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)用
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