抽象函數(shù)習(xí)題精選精講(編輯修改稿)
2025-04-21 02:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ）＝0。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。例設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）g（b）是否正確，試說(shuō)明理由。分析: 由題設(shè)條件可猜測(cè)y＝f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）g（b）正確。解：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）g（b）。三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；③當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0。試問(wèn)：（1）f（x）的奇偶性如何？說(shuō)明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。分析: 由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，∴在定義域中?！撸鄁（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設(shè)2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設(shè)2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。 例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），
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