賦值法解答抽象函數(shù)的賦值(編輯修改稿)
2025-06-12 08:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （x）的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f（x），同時滿足下列條件：①；②，求f（3），f（9）的值。解：取，得因?yàn)?，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4. 設(shè)函數(shù)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5. 設(shè)對滿足的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)滿足，求f（x）的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在（1）中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6. 設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以
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