抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法(編輯修改稿)
2025-08-19 09:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (x)在R上為增函數(shù)。 已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1,x2都有，且當(dāng)時(shí)，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)； （2）解不等式四、解析式問(wèn)題（換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法)例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,則sinx=u1 (0≤u≤2),則f(u)=u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=x2+3x+1 (0≤u≤2)小結(jié)：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法.例設(shè)對(duì)滿(mǎn)足x≠0,x≠1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)滿(mǎn)足, ,求f(x)的解析式。解: （2）（3）小結(jié)：通過(guò)解方程組的方法可求表達(dá)式。怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x+1)+f(x1)=2x24x,求f(x).解:易知f(x)是二次多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比較系數(shù)得:a=1,b= 2,c= 1,f(x)=x22x1.小結(jié)：如果抽象函數(shù)的類(lèi)型是確定的，則可用待定系數(shù)法來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題。七、周期性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題（由恒等式簡(jiǎn)單判斷：同號(hào)看周期，異號(hào)看對(duì)稱(chēng)）編號(hào)周 期 性對(duì) 稱(chēng) 性1→T=2→對(duì)稱(chēng)軸219。是偶函數(shù)；→對(duì)稱(chēng)中心（a,0）219。是奇函數(shù)2→T=→對(duì)稱(chēng)軸；→對(duì)稱(chēng)中心；3f(x)= f(x+a)→T=2f(x)= f(x+a)→對(duì)稱(chēng)中心4→T=2→對(duì)稱(chēng)中心5f(x)=177?！鶷=2f(x)= bf(x+a)→對(duì)稱(chēng)中心6f(x)=1→T=3結(jié)論：(1) 函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線(xiàn)x=a，x=b對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|ab| (2) 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|ab| (3) 函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a，及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4|ab| （4） 應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的區(qū)別: y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) （可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為：一個(gè)函數(shù)的恒等式，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相加和的一半為對(duì)稱(chēng)軸：兩個(gè)同法則不同表達(dá)式的函數(shù)，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相減等于0，解得的x為對(duì)稱(chēng)軸）八、綜合問(wèn)題例21. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性； （2）設(shè)，若 ，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因?yàn)椋?。在中，?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí),而,所以又當(dāng)x=0時(shí)，所以，綜上可知，對(duì)于任意，均有。設(shè)，則。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以,即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有,由，所以直線(xiàn)與圓面無(wú)公共點(diǎn)。因此有，解得。評(píng)析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問(wèn)題：一是f(0)的取值問(wèn)題，二是f(x)0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類(lèi)比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。(x),滿(mǎn)足當(dāng)x0
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