抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-04-21 02:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (*)其中,.顯然,諸兩兩不相交。有且僅有一個,使得。并且.由于,由(*)式可以推得 . (**)對于任意的,考察與:若,則,從而, .由此可得,從而,.這就表明,諸兩兩不相交. 這樣一來,由(**)式可以知,.,證明:,證明:對于任意的,是一個同態(tài).證明 將到自身的映射, 是群到群的同構(gòu) ,即, , , .假設(shè)是交換群,.將到自身的映射,我們有,.所以是一個同態(tài).,是的正規(guī)子群,證明:.證明 由于是的正規(guī)子群,:.由是群到群的滿同態(tài)可知是到的滿射.其次,注意到是的正規(guī)子群,對于任意的,有.所以是到的滿同態(tài).最后,對于任意的,我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.,(此時稱是和的內(nèi)直積),證明:.證明 定義到的映射如下:,.由可知,并且.于是,從而,從而,.這意味著且,是單射,從而,是雙射. 對于任意的,我們有,.由于,是的正規(guī)子群且,由167。5習(xí)題第3題可知,.因此,從而,.,是群,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯然,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.,證明:.證明 對于任意的和任意的,對于任意的,注意到是不同的素數(shù),我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:,即且,從而,.,顯然 .,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.167。7 有限群,是的正規(guī)子群,證明:對于任意的都有.證明 由于,對于任意的,從而,.,證明:存在到的滿同態(tài)的充要條件是.證明 ,.根據(jù)Lagrange定理,我們有,從而,.,.于是,是的正規(guī)子群,.設(shè)是到的同構(gòu),.,為素數(shù),.如果,證明:一定有階為的子群.注 我們介紹過Sylow定理的如下形式:設(shè)是階有限群,其中,是素數(shù),是非負整數(shù),是正整數(shù),對于任意的,: 由知,存在正整數(shù)和,使得,.根據(jù)Sylow定理,.證明 ,使得,.根據(jù)Sylow定理,.為此,對施行第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時,顯然結(jié)論成立.假設(shè)是整數(shù),并且當(dāng)時,對于任意的正整數(shù),:當(dāng)時,對于任意的正整數(shù),有階子群.事實上,由可知,對于的每個真子群,(其中為群的中心),存在,.根據(jù)歸納假設(shè),對于任意的正整數(shù),存在的子群,使得且,從而,.,為素數(shù),如果的每個元素的階都是的方冪,:是群是的一個冪.證明 顯然,當(dāng)是的一個冪時,是群.,存在素數(shù),使的,其中,.根據(jù)Sylow定理,.:階小于或等于5的群都是交換群.證明 ,2階群、3階群和5階群都是循環(huán)群,因而都是交換群.,中元素的階只能是,是循環(huán)群,中的元素,除單位元外,就是Klein四元群,因而是交換群.,是的有限子群,假設(shè),證明:.證明 由于既的子群,又是的子群,根據(jù)167。6習(xí)題第5題,我們有.第二章 環(huán) 論167。1 環(huán)的概念:(5)(7).注 (5)(7)的原文如下:(設(shè)是一個環(huán),則)(5)。(6),其中為整數(shù)。(7)若是交換環(huán),則,.顯然,(5)中應(yīng)加進“其中和為中的任意元素,和為任意正整數(shù)”。(6)中應(yīng)加進“和為中的任意元素”。(7)中應(yīng)加進“其中，和為中的任意元素,為任意正整數(shù),并且約定,”.證明 首先,因為乘法對加法適合分配律,所以.這就是說,(5)成立.其次,當(dāng)時,(1),我們有,從而,.當(dāng)是正整數(shù)時,令,則因乘法對加法適合分配律,我們有 ,從而,.當(dāng)是負整數(shù)時,(2)和剛才證明的結(jié)論,我們有,從而,.這就是說,(6)成立.最后, (*),當(dāng)時,顯然(*))時,(*)式成立. 當(dāng)時,我們有.所以對于一切正整數(shù),(*)式成立.此外,由于乘法適合結(jié)合律和交換律,由第一章的167。1知,.2．令,證明關(guān)于實數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).證明 顯然,是一個交換群。是一個半群(也就是說,乘法適合結(jié)合律)。.(驗證過程從略.),定義,.證明:關(guān)于這樣定義的和構(gòu)成一個環(huán).證明 簡單的數(shù)學(xué)分析知識告訴我們,是一個交換群。是一個半群(也就是說,乘法適合結(jié)合律)。.,其中,的表格稱為環(huán)上的矩陣(或階方陣).,可以定義環(huán)上的矩陣的加法和乘法,證明:,如果存在,使得,則稱是可逆的,稱是的一個逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為.證明 完全類似于數(shù)域上矩陣,容易驗證上的加法適合結(jié)合律和交換律(從略).令表示所有元素都為的零元的階方陣。對于任意的,對于任意的,有,.,容易驗證:上的乘法適合結(jié)合律,并且對上的加法適合分配律(從略).所以關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán). 假設(shè)是任意一個可逆矩陣,從而,.這就表明的逆矩陣是唯一的. ,假設(shè)是一個循環(huán)群,證明:是交換環(huán).證明 ,對于任意的,存在,使得,從而,(6),.所以是交換環(huán).,對于任意的,令,⊙,證明:和⊙是上的兩個代數(shù)運算且關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個有單位元的環(huán).注 到此為止,還要求證明和⊙:設(shè)是一個有單位元的環(huán),定義上的代數(shù)運算加法和乘法⊙如下:,⊙,.證明:關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個有單位元的環(huán).證明 (顯而易見,和⊙都是上的代數(shù)運算.)對于任意的,有。 。.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙。 ⊙⊙, ⊙⊙ ,從而, ⊙⊙⊙?！选选? ⊙⊙
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