抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-文庫吧在線文庫
【正文】 的子群,.假設(shè),則,.這樣一來,.所以不是的子群.,是的一個子群鏈,證明:是的子群.證明 ,存在正整數(shù)和使得,.令..由于是的子群,因此,從而,.所以是的子群.:()是的一個生成集.證明 考察任意的對換:若或,則.若且,則.這就是說,對于每一個對換,要么它本身屬于,從而,.167。6 群的同構(gòu)與同態(tài),是群到群的同構(gòu),證明:是群到群的同構(gòu)。5習(xí)題第3題可知,.因此,從而,.,是群,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯然,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.,證明:.證明 對于任意的和任意的,對于任意的,注意到是不同的素數(shù),我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:,即且,從而,.,顯然 .,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.167。1知,.2．令,證明關(guān)于實數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).證明 顯然,是一個交換群。.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙。4習(xí)題第5題可知,.其次,顯然,且,從而,眾所周知,存在,從而,.所以..注 :設(shè)是一個環(huán),是的一個理想.(1)若是的一個理想且,則是的理想。6習(xí)題第8題及其解答可知,對于任意的和,由于是環(huán)的理想且,我們有,從而,.因此,從而,.所以在環(huán)的同構(gòu)意義下,有.,證明:.證明 對于任意的和,我們有且且.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對于任意的和任意的,.考察任意的:由可知,存在和,使得,.由和可知,。當時,.所以都是中的既約元.:是域.證明 由于是有單位元的交換環(huán),為了證明是域,只需證明是的極大理想.事實上,從而,.,存在,從而,.所以是的極大理想.:整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán).證明 ,.,:根據(jù)帶余除法,存在整數(shù)和,使得,.由此可見,.假如,從而,.由于的任意性,.,.:不是主理想整環(huán).證明 167。7 唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán),證明:中首項系數(shù)為1的多項式都能分解成一些既約元的乘積.注 首項系數(shù)為1的零次多項式就是,不是既約元,:設(shè)是一個整環(huán),證明:中首項系數(shù)為1的次數(shù)大于零的多項式都能分解成一些既約元的的乘積.證明 我們已經(jīng)知道,.當是首項系數(shù)為1的次多項式時,顯然)是既約元.假設(shè)當是首項系數(shù)為1的次數(shù)小于或等于的多項式時, :若是既約元,則存在首項系數(shù)為1的多項式,使得,.所以中首項系數(shù)為1的次數(shù)大于零的多項式都能分解成一些既約元的乘積.,是的分式域,和的首項系數(shù)都為,假設(shè)在中,證明:.注 題中不必假定的首項系數(shù)為.證明 由于在中,因此存在非零多項式,存在和上的本原多項式,使得,.于是, .由于是上的首項系數(shù)為的多項式,因此是本原多項式。當時,.證明 ,使得.,則,從而,.,從而,.所以.,對于任意的正整數(shù),從而,.所以.,令,證明:與互素.證明 ,存在,使得,從而,.,因此,從而,存在,使得,從而,..,假設(shè)且與互素,證明:.證明 當時,由可知,。由此可見,:,從而,環(huán)是除環(huán),但不是域.,是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明 ,使得不包含于,根據(jù)第2題,是的素理想.注 也可以根據(jù)課本中的素理想的定義直接證明.,是的一個真理想,證明:存在的極大理想使.證明 :,.于是,存在,使得,.由于是的有序子集,不妨假定從而,.由于是的理想,因此,從而,.,由于的任意性,根據(jù)Zorn引理我們可以斷言,.()的整環(huán),證明:且映射是一個環(huán)同態(tài).證明 (7),.當時,從而,.由于的特征為(),當時,.所以.將本題中所說的映射記做,則,.所以是環(huán)的自同態(tài).,假設(shè)沒有零因子,證明:是除環(huán).證明 由于是有限環(huán)且沒有零因子,因此是非空有限集,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制),根據(jù)第一章167。6習(xí)題第1題,故對于任意的總有,從而,.所以是環(huán)到環(huán)的同構(gòu)..注 :設(shè)是一個環(huán),是的理想.(1)若是的理想,則。從而, ⊙⊙⊙。.,其中,的表格稱為環(huán)上的矩陣(或階方陣).,可以定義環(huán)上的矩陣的加法和乘法,證明:,如果存在,使得,則稱是可逆的,稱是的一個逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為.證明 完全類似于數(shù)域上矩陣,容易驗證上的加法適合結(jié)合律和交換律(從略).令表示所有元素都為的零元的階方陣。(6),其中為整數(shù)。5習(xí)題中第8題類似,這道題也宜安排在167。5 正規(guī)子群與商群:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群.證明 設(shè)是循環(huán)群,我們有.這就表明,是循環(huán)群.,是的一族正規(guī)子群,證明:也是的正規(guī)子群.證明 眾所周知,我們有,.所以也是的正規(guī)子群.,是群的正規(guī)子群且,證明:對于任意的,都有.證明 對于任意的,由于是群的正規(guī)子群,從而,。EABCEEABCAAECBBBCEACCBAE由于矩陣的乘法適合結(jié)合律,.所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群.,令,.證明:關(guān)于這樣的乘法構(gòu)成一個群.證明 對于任意的,我們有,并且對于任意的,我們有,.所以關(guān)于該乘法構(gòu)成一個群..解 ,的乘法表如下:數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、中學(xué)數(shù)學(xué)建模、離散數(shù)學(xué)、高等幾何、概率統(tǒng)計、競賽數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)實踐、初等代數(shù)研究、初等幾何研究、教法研究、計算機輔助教學(xué)、教育學(xué)、教育心理學(xué)、大學(xué)英語等。,證明: 適合消去律.證明 ,則.
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