抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-文庫(kù)吧
2025-03-10 02:32 本頁(yè)面
【正文】 ,證明:與具有相同的階.證明 顯然,對(duì)于任意的正整數(shù),從而,.由此可見,與具有相同的階.,求的階.解 當(dāng)時(shí),顯然,.當(dāng)時(shí),我們有,從而,.,證明:是交換群.證明 參看167。2習(xí)題第17題.17．,證明:是交換群.證明 我們有,.由上題知,是交換群.,證明:與具有相同的階.證明 注意到,根據(jù)第6題的結(jié)論,與具有相同的階.,.假設(shè)的階與的階互素,證明:.證明 令,.由于,我們有,從而,.因?yàn)榕c互素,.由于與互素,即.,是的子群,證明:存在使.證明 眾所周知,.當(dāng)時(shí),并且,在和中,一個(gè)是正數(shù),我們有,.現(xiàn)在考察任意的:眾所周知,存在整數(shù)和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數(shù),必有,從而,..,證明: 不是的子群.證明 由于不包含于且不包含于,是的子群,.假設(shè),則,.這樣一來(lái),.所以不是的子群.,是的一個(gè)子群鏈,證明:是的子群.證明 ,存在正整數(shù)和使得,.令..由于是的子群,因此,從而,.所以是的子群.:()是的一個(gè)生成集.證明 考察任意的對(duì)換:若或,則.若且,則.這就是說(shuō),對(duì)于每一個(gè)對(duì)換,要么它本身屬于,,從而,.167。4 循環(huán)群:循環(huán)群是交換群.證明 ,(參看課本第12頁(yè)倒數(shù)第4行).眾所周知,.所以是交換群.,.假設(shè)的階為,證明:對(duì)任意整數(shù),有. 證明 , .,是任意整數(shù),證明:與具有相同的階且.證明 ,我們有.,從而, .由此可見,.,證明:當(dāng)且僅當(dāng).證明 ,我們有.,和是的兩個(gè)子群,證明:.證明 顯然,從而,. 為了證明,現(xiàn)在只需證明.考察任意的:當(dāng)為的單位元時(shí),由知,存在,使得。由知,存在,從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).綜上所述,對(duì)于任意的,.,和是的兩個(gè)子群,證明:的充要條件是.證明 ,我們有,從而,.,從而,.這樣根據(jù)第3題的結(jié)論可以斷言,即.,證明:有且僅有兩個(gè)生成元.證明 由于是無(wú)限循環(huán)群,也是的一個(gè)生成元,因此存在,因此存在,.,和是的兩個(gè)子群,證明:的充要條件是.證明 當(dāng)時(shí),顯然.,當(dāng)時(shí),從而,.,存在,使得。由可知,存在,由可知,從而,.所以.167。5 正規(guī)子群與商群:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群.證明 設(shè)是循環(huán)群,我們有.這就表明,是循環(huán)群.,是的一族正規(guī)子群,證明:也是的正規(guī)子群.證明 眾所周知,我們有,.所以也是的正規(guī)子群.,是群的正規(guī)子群且,證明:對(duì)于任意的,都有.證明 對(duì)于任意的,由于是群的正規(guī)子群,從而,。由于是群的正規(guī)子群,從而,.因此,從而,.由此可見.,證明:是的正規(guī)子群.證明 我們已經(jīng)知道,.,.當(dāng)時(shí),并且,由可知,..,.假設(shè)只有一個(gè)階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 任取,考察:由167。3習(xí)題第3題知,:,.,由于的任意性,是的正規(guī)子群.,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 (1),對(duì)于任意的,我們有存在和,使得存在和, .所以.,存在和,使得,.因此.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來(lái),由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規(guī)子群,我們有.這樣,根據(jù)(1),是的子群.(3)根據(jù)(2),還有,.所以是的正規(guī)子群.,和是的子群且,證明:.注 證明這道題時(shí)還要用到如下約定:,.此外,這道題與167。7中的Lagrange定理類似,而且其證明難度不亞于Lagrange定理的證明難度,因此安排在這里不太合適.證明 首先,由于是的子群,當(dāng)時(shí),從而,.其次,由于,因此當(dāng)時(shí),從而.,.由知,存在,使得,存在,使得,我們有. ,設(shè),由于,因此,從而,從而,根據(jù)式可以斷言,即.,假設(shè)的任意兩個(gè)左陪集的乘積仍是一個(gè)左陪集,證明:是的正規(guī)子群.證明 ,因此存在的左陪集,使得,由此可見,根據(jù)上式我們又可以斷言,.將上式兩邊左乘,右乘,這就意味著是的正規(guī)子群.167。6 群的同構(gòu)與同態(tài),是群到群的同構(gòu),證明:是群到群的同構(gòu)。是群到群的同構(gòu).證明 眾所周知,又因保持乘法運(yùn)算,故對(duì)于任意的總有,從而,.所以是群到群的同構(gòu).眾所周知,故對(duì)于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu).,是的共軛子群,證明:與同構(gòu).證明 定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,對(duì)于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu),從而,.,證明:對(duì)于任意的,.舉例說(shuō)明,若是群到群的同態(tài),則的階與的階不一定相同.證明 ,我們可以斷言:對(duì)于任意的正整數(shù),我們有.由此可見,.假設(shè),其中為的單位元,使得,則,從而,..注 :設(shè)是一個(gè)群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則。(2)若是的正規(guī)子群且,則.證明 (1),是的正規(guī)子群。是的正規(guī)子群.考察任意的:假設(shè) ,其中,.則,從而,.因此.這樣一來(lái),我們可以定義到的映射如下:對(duì)于任意的,若,其中,.由可知,是滿射.,.由于是的子群,因此,從而,存在和,.另一方面,我們有.,易知,從而,即. 所以是到的滿同態(tài).最后,對(duì)于任意(,),我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.(2),:,.顯而易見,因此對(duì)于任意的,總有 .因此是到的滿同態(tài).其次,對(duì)于任意的,我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.,是的有限子群,證明:.注 與167。5習(xí)題中第8題類似,這道題也宜安排在167。7習(xí)題中.證明 ,既是的子群, ,
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