抽象代數(shù)基礎習題解答-wenkub
2023-04-09 02:32:05 本頁面
【正文】 任意的,我們有,并且對于任意的,我們有,.所以關于該乘法構成一個群..解 ,的乘法表如下:證明: 適合結合律.證明 ,只需證明.下面分兩種情形來闡明上式成立..當時,。數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、中學數(shù)學建模、離散數(shù)學、高等幾何、概率統(tǒng)計、競賽數(shù)學、運籌學、數(shù)學教學實踐、初等代數(shù)研究、初等幾何研究、教法研究、計算機輔助教學、教育學、教育心理學、大學英語等。當時,。,證明: 適合消去律.證明 ,則.同理,若,適合消去律.,令,.求和.解 我們有,.,求.解 我們有.,證明:.證明 事實上,易見,。4 循環(huán)群:循環(huán)群是交換群.證明 ,(參看課本第12頁倒數(shù)第4行).眾所周知,.所以是交換群.,.假設的階為,證明:對任意整數(shù),有. 證明 , .,是任意整數(shù),證明:與具有相同的階且.證明 ,我們有.,從而, .由此可見,.,證明:當且僅當.證明 ,我們有.,和是的兩個子群,證明:.證明 顯然,從而,. 為了證明,現(xiàn)在只需證明.考察任意的:當為的單位元時,由知,存在,使得。由于是群的正規(guī)子群,從而,.因此,從而,.由此可見.,證明:是的正規(guī)子群.證明 我們已經(jīng)知道,.,.當時,并且,由可知,..,.假設只有一個階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 任取,考察:由167。是群到群的同構.證明 眾所周知,又因保持乘法運算,故對于任意的總有,從而,.所以是群到群的同構.眾所周知,故對于任意的總有.所以是群到群的同構.,是的共軛子群,證明:與同構.證明 定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,對于任意的總有.所以是群到群的同構,從而,.,證明:對于任意的,.舉例說明,若是群到群的同態(tài),則的階與的階不一定相同.證明 ,我們可以斷言:對于任意的正整數(shù),我們有.由此可見,.假設,其中為的單位元,使得,則,從而,..注 :設是一個群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則。7習題中.證明 ,既是的子群, , (*)其中,.顯然,諸兩兩不相交。7 有限群,是的正規(guī)子群,證明:對于任意的都有.證明 由于,對于任意的,從而,.,證明:存在到的滿同態(tài)的充要條件是.證明 ,.根據(jù)Lagrange定理,我們有,從而,.,.于是,是的正規(guī)子群,.設是到的同構,.,為素數(shù),.如果,證明:一定有階為的子群.注 我們介紹過Sylow定理的如下形式:設是階有限群,其中,是素數(shù),是非負整數(shù),是正整數(shù),對于任意的,: 由知,存在正整數(shù)和,使得,.根據(jù)Sylow定理,.證明 ,使得,.根據(jù)Sylow定理,.為此,對施行第二數(shù)學歸納法.當時,顯然結論成立.假設是整數(shù),并且當時,對于任意的正整數(shù),:當時,對于任意的正整數(shù),有階子群.事實上,由可知,對于的每個真子群,(其中為群的中心),存在,.根據(jù)歸納假設,對于任意的正整數(shù),存在的子群,使得且,從而,.,為素數(shù),如果的每個元素的階都是的方冪,:是群是的一個冪.證明 顯然,當是的一個冪時,是群.,存在素數(shù),使的,其中,.根據(jù)Sylow定理,.:階小于或等于5的群都是交換群.證明 ,2階群、3階群和5階群都是循環(huán)群,因而都是交換群.,中元素的階只能是,是循環(huán)群,中的元素,除單位元外,就是Klein四元群,因而是交換群.,是的有限子群,假設,證明:.證明 由于既的子群,又是的子群,根據(jù)167。(7)若是交換環(huán),則,.顯然,(5)中應加進“其中和為中的任意元素,和為任意正整數(shù)”。是一個半群(也就是說,乘法適合結合律)。對于任意的,對于任意的,有,.,容易驗證:上的乘法適合結合律,并且對上的加法適合分配律(從略).所以關于矩陣的加法和乘法構成一個環(huán). 假設是任意一個可逆矩陣,從而,.這就表明的逆矩陣是唯一的. ,假設是一個循環(huán)群,證明:是交換環(huán).證明 ,對于任意的,存在,使得,從而,(6),.所以是交換環(huán).,對于任意的,令,⊙,證明:和⊙是上的兩個代數(shù)運算且關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環(huán).注 到此為止,還要求證明和⊙:設是一個有單位元的環(huán),定義上的代數(shù)運算加法和乘法⊙如下:,⊙,.證明:關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環(huán).證明 (顯而易見,和⊙都是上的代數(shù)運算.)對于任意的,有。 ⊙⊙, ⊙⊙ ,從而, ⊙⊙⊙?！选?所以,⊙是以環(huán)的單位元為零元、以環(huán)的零元為單位元的環(huán).,記滿足的剩余類的個數(shù)為,證明:(1)令,則關于剩余類的乘法構成一個群。(2)若是的一個理想,則存在的理想,使且.證明 (1),由于是加群的正規(guī)子群且是加群的子群且,(1),由于是的理想,對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.(2),(2),存在加群的子群,由于是的理想,因此對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.,令,證明:是的一個左理想.注 應將“”改為“”.證明 首先,對于任意的,我們有,從而,.因此,.,對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的一個左理想.,是的一個理想鏈,證明:是的理想.證明 由于是加群的一個子群鏈,根據(jù)第一章167。(2)若是的理想,且,則.
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