【正文】 證明 我們已經知道,.,.當時,并且,由可知,..,.假設只有一個階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 任取,考察:由167。數學分析、高等代數、解析幾何、中學數學建模、離散數學、高等幾何、概率統(tǒng)計、競賽數學、運籌學、數學教學實踐、初等代數研究、初等幾何研究、教法研究、計算機輔助教學、教育學、教育心理學、大學英語等。5 正規(guī)子群與商群:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群.證明 設是循環(huán)群,我們有.這就表明,是循環(huán)群.,是的一族正規(guī)子群,證明:也是的正規(guī)子群.證明 眾所周知,我們有,.所以也是的正規(guī)子群.,是群的正規(guī)子群且,證明:對于任意的,都有.證明 對于任意的,由于是群的正規(guī)子群,從而,。(6),其中為整數。從而, ⊙⊙⊙。由此可見,:,從而,環(huán)是除環(huán),但不是域.,是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明 ,使得不包含于,根據第2題,是的素理想.注 也可以根據課本中的素理想的定義直接證明.,是的一個真理想,證明:存在的極大理想使.證明 :,.于是,存在,使得,.由于是的有序子集,不妨假定從而,.由于是的理想,因此,從而,.,由于的任意性,根據Zorn引理我們可以斷言,.()的整環(huán),證明:且映射是一個環(huán)同態(tài).證明 (7),.當時,從而,.由于的特征為(),當時,.所以.將本題中所說的映射記做,則,.所以是環(huán)的自同態(tài).,假設沒有零因子,證明:是除環(huán).證明 由于是有限環(huán)且沒有零因子,因此是非空有限集,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制),根據第一章167。7 唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán),證明:中首項系數為1的多項式都能分解成一些既約元的乘積.注 首項系數為1的零次多項式就是,不是既約元,:設是一個整環(huán),證明:中首項系數為1的次數大于零的多項式都能分解成一些既約元的的乘積.證明 我們已經知道,.當是首項系數為1的次多項式時,顯然)是既約元.假設當是首項系數為1的次數小于或等于的多項式時, :若是既約元,則存在首項系數為1的多項式,使得,.所以中首項系數為1的次數大于零的多項式都能分解成一些既約元的乘積.,是的分式域,和的首項系數都為,假設在中,證明:.注 題中不必假定的首項系數為.證明 由于在中,因此存在非零多項式,存在和上的本原多項式,使得,.于是, .由于是上的首項系數為的多項式,因此是本原多項式。6習題第8題及其解答可知,對于任意的和,由于是環(huán)的理想且,我們有,從而,.因此,從而,.所以在環(huán)的同構意義下,有.,證明:.證明 對于任意的和,我們有且且.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對于任意的和任意的,.考察任意的:由可知,存在和,使得,.由和可知,。.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙。5習題第3題可知,.因此,從而,.,是群,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯然,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構,從而,.,證明:.證明 對于任意的和任意的,對于任意的,注意到是不同的素數,我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:,即且,從而,.,顯然 .,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構,從而,.167。2習題第17題.17．,證明:是交換群.證明 我們有,.由上題知,是交換群.,證明:與具有相同的階.證明 注意到,根據第6題的結論,與具有相同的階.,.假設的階與的階互素,證明:.證明 令,.由于,我們有,從而,.因為與互素,.由于與互素,即.,是的子群,證明:存在使.證明 眾所周知,.當時,并且,在和中,一個是正數,我們有,.現在考察任意的:眾所周知,存在整數和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數,必有,從而,..,證明: 不是的子群.證明 由于不包含于且不包含于,是的子群,.假設,則,.這樣一來,.所以不是的子群.,是的一個子群鏈,證明:是的子群.證明 ,存在正整數和使得,.令..由于是的子群,因此,從而,.所以是的子群.:()是的一個生成集.證明 考察任意的對換:若或,則.若且,則.這就是說,對于每一個對換,要么它本身屬于,從而,.167。當時,。是群到群的同構.證明 眾所周知,又因保持乘法運算,故對于任意的總有,從而,.所以是群到群的同構.眾所周知,故對于任意的總有.所以是群到群的同構.,是的共軛子群,證明:與同構.證明 定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,對于任意的總有.所以是群到群的同構,從而,.,證明:對于任意的,.舉例說明,若是群到群的同態(tài),則的階與的階不一定相同.證明 ,我們可以斷言:對于任意的正整數,我們有.由此可見,.假設,其中為的單位元,使得,則,從而,..注 :設是一個群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則。是一個半群(也就是說,乘法適合結合律)。(2)若是的一個理想,則存在的理想,使且.證明 (1),由于是加群的正規(guī)子群且是加群的子群且,(1),由于是的理想,對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.(2),(2),存在加群的子群,由于是的理想,因此對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.,令,證明:是的一個左理想.注 應將“”改為“”.證明 首先,對于任意的,我們有,從而,.因此,.,對于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的一個左理想.,是的一個理想鏈,證明:是的理想.證明 由于是加群的一個子群鏈,根據第一章167。5習題第8題知,.假設存在,使得,.,從而,不是主理想整環(huán).:是歐氏環(huán).