抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答(參考版)
2025-03-28 02:32本頁面
【正文】 由于和都是上的本原多項(xiàng)式,(Gauss引理),是中的單位,從而,所以.。當(dāng)是單位或是單位時(shí), .現(xiàn)在假設(shè)和既不是,.如果與互素,那么,(與(,因?yàn)槭俏ㄒ环纸庹h(huán),可以表示成如下形式:.所以.,證明:與互素存在使.證明 由于是主理想整環(huán),我們有與互素是與的最大公因子存在使.167。由與互素可知,.當(dāng)是單位時(shí),顯然.假設(shè)既不是,因此既不是,也不是單位。 ,因此僅有有限多個(gè)不同因子(相伴的真因子看成同一個(gè)真因子).所以僅有有限多個(gè)主理想包含.,證明:在中不存在下列形式的理想鏈注 其中,是指“真包含于”.例如,是指且.證明 假設(shè)在中存在理想鏈,由于是唯一分解整環(huán),因此僅有有限多個(gè)不同因子(相伴的真因子看成同一個(gè)真因子).這個(gè)矛盾表明中不存在這樣的理想鏈.9. 設(shè)是一個(gè)整環(huán),令: .由于是主理想整環(huán),:當(dāng)時(shí),。5習(xí)題第8題知,.假設(shè)存在,使得,.,從而,不是主理想整環(huán).:是歐氏環(huán).證明 :,對(duì)于任意的(其中),我們有.此外,顯然,并且,是到的映射. 任意給定,現(xiàn)在只需闡明存在,使得,其中或. 事實(shí)上,我們有.根據(jù)帶余除法,存在,使得,。當(dāng)時(shí),.所以是中的既約元.假設(shè),(其中),使得.于是,.由此可見,。2習(xí)題第18題的第(2)小題,是除環(huán).,證明:是一個(gè)域的理想只有和.注 :當(dāng)時(shí),是有單位元的交換環(huán),不是一個(gè)域,“設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的有單位元的交換環(huán),證明:是一個(gè)域的理想只有和.”下面就修改后的題目進(jìn)行證明.證明 :,因此對(duì)于任意的,存在,使得,從而,.由此可見,.所以的理想只有和.,存在非零元,從而,且.:有限除環(huán)一定是域.注 這里要證明的命題是著名的Wedderburn定理,原題中應(yīng)刪去“有單位元的”這幾個(gè)字,因?yàn)榉彩浅h(huán)都有單位元. 167。這四個(gè)元素中兩兩相乘的結(jié)果如下表所示:由和可知,.這樣一來,根據(jù)的定義,我們有.由此可見,是到的滿射. 對(duì)于任意的和任意的,我們有 ,.所以是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài). 對(duì)于任意的和任意的,我們有,從而,.這樣一來,根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,.167。6習(xí)題第7題, 是加群的子群,并且,在群的同構(gòu)意義下,.其次,由于是環(huán)的一個(gè)理想,對(duì)于任意的和任意的,有,從而,.所以是的理想.現(xiàn)在令,.顯而易見,對(duì)于任意的,有.因此,在環(huán)的同構(gòu)意義下,有.,假設(shè)且(此時(shí)稱是和的內(nèi)直和),證明:.證明 ,.根據(jù)第一章167。(2)若是的理想,且,則.證明 (1)令,.(1)及其證明,是加群到加群的滿同態(tài), ,還有,.所以是環(huán)到加環(huán)的滿同態(tài),根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,在環(huán)的同構(gòu)的意義下,.(2)令,.(2)及其證明,是加群到加群的滿同態(tài),還有,.所以是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,在環(huán)的同構(gòu)的意義下,.,令是多項(xiàng)式環(huán)中所有系數(shù)在中的多項(xiàng)式組成的集合,證明:是的一個(gè)理想,且.證明 反復(fù)利用167。4 環(huán)的同態(tài),證明:是的理想.證明 由于是環(huán)到環(huán)的同態(tài),是加群的(正規(guī)),對(duì)于任意的和,我們有,從而,.由此可見,是的理想.,證明:是環(huán)到環(huán)的同構(gòu).證明 由于是環(huán)到環(huán)的同構(gòu),167。(2)若是的一個(gè)理想,則存在的理想,使且.證明 (1),由于是加群的正規(guī)子群且是加群的子群且,(1),由于是的理想,對(duì)于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.(2),(2),存在加群的子群,由于是的理想,因此對(duì)于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的理想.,令,證明:是的一個(gè)左理想.注 應(yīng)將“”改為“”.證明 首先,對(duì)于任意的,我們有,從而,.因此,.,對(duì)于任意的和任意的,我們有,從而,.所以是的一個(gè)左理想.,是的一個(gè)理想鏈,證明:是的理想.證明 由于是加群的一個(gè)子群鏈,根據(jù)第一章167。3 理想與商環(huán)1. 設(shè)和是整數(shù)環(huán)的兩個(gè)理想,證明:,.注注 這里約定,當(dāng)時(shí),.證明 我們已經(jīng)知道,對(duì)于任意的,有(參看課本第39頁).這樣一來,由第一章167。⊙⊙.所以,⊙是以環(huán)的單位元為零元、以環(huán)的零元為單位元的環(huán).,記滿足的剩余類的個(gè)數(shù)為,證明:(1)令,則關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個(gè)群。 ⊙⊙ 。 ⊙⊙, ⊙⊙ ,從而, ⊙⊙⊙。對(duì)于任意的,對(duì)于任意的,有,.,容易驗(yàn)證:上的乘法適合結(jié)合律,并且對(duì)上的加法適合分配律(從略).所以關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán). 假設(shè)是任意一個(gè)可逆矩陣,從而,.這就表明的逆矩陣是唯一的. ,假設(shè)是一個(gè)循環(huán)群,證明:是交換環(huán).證明 ,對(duì)于任意的,存在,使得,從而,(6),.所以是交換環(huán).,對(duì)于任意的,令,⊙,證明:和⊙是上的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算且關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個(gè)有單位元的環(huán).注 到此為止,還要求證明和⊙:設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),定義上的代數(shù)運(yùn)算加法和乘法⊙如下:,⊙,.證明:關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個(gè)有單位元的環(huán).證明 (顯而易見,和⊙都是上的代數(shù)運(yùn)算.)對(duì)于任意的,有。是一個(gè)半群(也就是說,乘法適合結(jié)合律)。是一個(gè)半群(也就是說,乘法適合結(jié)合律)。(7)中應(yīng)加進(jìn)“其中，和為中的任意元素,為任意正整數(shù),并且約定,”.證明 首先,因?yàn)槌朔▽?duì)加法適合分配律,所以.這就是說,(5)成立.其次,當(dāng)時(shí),(1),我們有,從而,.當(dāng)是正整數(shù)時(shí),令,則因乘法對(duì)加法適合分配律,我們有 ,從而,.當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí),(2)和剛才證明的結(jié)論,我們
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