抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 交,并且不計(jì)循環(huán)置換的順序,不妨設(shè),.假設(shè),則,由此可見(jiàn),當(dāng)時(shí),和是同一個(gè)表達(dá)式.167。由知,存在,從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).綜上所述,對(duì)于任意的,.,和是的兩個(gè)子群,證明:的充要條件是.證明 ,我們有,從而,.,從而,.這樣根據(jù)第3題的結(jié)論可以斷言,即.,證明:有且僅有兩個(gè)生成元.證明 由于是無(wú)限循環(huán)群,也是的一個(gè)生成元,因此存在,因此存在,.,和是的兩個(gè)子群,證明:的充要條件是.證明 當(dāng)時(shí),顯然.,當(dāng)時(shí),從而,.,存在,使得。3習(xí)題第3題知,:,.,由于的任意性,是的正規(guī)子群.,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 (1),對(duì)于任意的,我們有存在和,使得存在和, .所以.,存在和,使得,.因此.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來(lái),由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規(guī)子群,我們有.這樣,根據(jù)(1),是的子群.(3)根據(jù)(2),還有,.所以是的正規(guī)子群.,和是的子群且,證明:.注 證明這道題時(shí)還要用到如下約定:,.此外,這道題與167。(2)若是的正規(guī)子群且,則.證明 (1),是的正規(guī)子群。有且僅有一個(gè),使得。6習(xí)題第5題,我們有.第二章 環(huán) 論167。(6)中應(yīng)加進(jìn)“和為中的任意元素”。.(驗(yàn)證過(guò)程從略.),定義,.證明:關(guān)于這樣定義的和構(gòu)成一個(gè)環(huán).證明 簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)分析知識(shí)告訴我們,是一個(gè)交換群。 ?！选?。(2)若,則()(費(fèi)馬定理).證明 (1)顯然,因此.其次,.因此,從而,.這表明,:由可知,存在,從而,并且.這就表明,半群中每個(gè)元素都有逆元. 所以關(guān)于剩余類(lèi)的乘法構(gòu)成一個(gè)群. (2)首先,我們注意,.,.,從而,.所以().167。3習(xí)題第13題,是加群的子群.其次,設(shè),.于是,存在正整數(shù),因此,從而,.所以是的理想.,令是多項(xiàng)式環(huán)中所有系數(shù)在中的多項(xiàng)式組成的集合,證明:是的一個(gè)理想.證明 顯而易見(jiàn),對(duì)于任意的和任意的,我們有,.由于是環(huán)的一個(gè)理想,因此,.由此可見(jiàn),.所以環(huán)的一個(gè)理想.,證明:的理想只有和.注 本題中的是指2階零矩陣.證明 考察環(huán)的任意一個(gè)非零理想:任取非零矩陣.,對(duì)于任意的,.,.于是,存在可逆矩陣(),使得().因?yàn)槭堑睦硐肭?由以上四式可知().這樣一來(lái),注意到是的理想,對(duì)于任意的,我們有.由此可見(jiàn),.綜上所述,可以斷言,的理想只有和.167。3習(xí)題第5題的結(jié)論可以推知,是的一個(gè)理想.對(duì)于任意的,令,其中,.不難驗(yàn)證,是環(huán)到環(huán)的滿(mǎn)同態(tài),并且(驗(yàn)證過(guò)程從略).根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,.,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯而易見(jiàn),是到的滿(mǎn)同態(tài),.,是環(huán)的一個(gè)理想,證明:是的理想且.證明 由于是環(huán)到環(huán)的滿(mǎn)同態(tài),因此是加群的(正規(guī))167。5 交換環(huán),是的理想,令,證明:也是的理想.證明 ,.于是,存在正整數(shù)和,從而,.所以也是的理想.,是的真理想,證明:是的素理想對(duì)的任意兩個(gè)理想,若,則或,其中.證明 ,設(shè)是素理想,并設(shè)和是的理想且:若對(duì)于任意的都有,存在,因此,.又因是素理想且,故,或.其次,假設(shè)對(duì)的任意兩個(gè)理想,若,:考察任意的,.由于是交換環(huán),我們有 , .考察任意的:不妨設(shè),其中,.通過(guò)直接演算可知,.由此可見(jiàn),.這樣一來(lái),根據(jù)我們對(duì)的假設(shè),或,從而,.,證明:也是整環(huán),且若,則.證明 由于是有單位元的交換環(huán)且,所以也是是有單位元的交換環(huán),:不妨假設(shè),并且,其中,.由于無(wú)零因子,且,因此,從而,.由此可見(jiàn),也是整環(huán).,證明:中的可逆元(即存在逆元的元素)恰是中的可逆元.證明 ,存在,.這樣一來(lái),由可知,..證明 在中,.由此可見(jiàn),的逆元是,與互為逆元,的逆元是.,是中的不可約多項(xiàng)式,證明:是的極大理想.證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此.由于是中的不可約多項(xiàng)式,因此與互素,從而,存在,使得.注意到由上式可知,從而,.所以是的極大理想.:是的一個(gè)極大理想.證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此,從而,即,.顯然,.所以是的極大理想.:是的極大理想是素?cái)?shù).注 這里應(yīng)假定為正整數(shù).證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此,從而,即,.,.任取,因此與互素,從而,存在,.所以是的極大理想.,存在大于的整數(shù),是的真理想,..證明 ,使得是一個(gè)除環(huán),但不是域.對(duì)于中的任意向量,我們定義與的乘積為:.容易驗(yàn)證,我們定義的乘法適合結(jié)合律,易見(jiàn),是環(huán)的單位元。6 整環(huán)的因子分解:是中的既約元.證明 考察高斯整數(shù)環(huán):顯然,(其中),.從而,.由此可見(jiàn),(其中),使得.于是,.由此可見(jiàn),或,從而,.:,都是中的既約元.注 這里表示的一個(gè)平方根.證明 考察整環(huán):顯然,(其中),使得.于是,.由此可見(jiàn), ,.假設(shè),(其中),使得.于是,.由此可見(jiàn),或,從而,或者,.所以是中的既約元.假設(shè),(其中),使得.于是,.顯然,無(wú)論是什么整數(shù),.這樣一來(lái)由上式可以推知, 且,或者,。,.,從而, .注意到,由上式可知,.則,并且.當(dāng)時(shí),.,且,證明:僅有有限多個(gè)主理想包含.證明 ,對(duì)與任意的,當(dāng)且僅當(dāng)是的因子。從而,不妨設(shè),使得.由于與互素,因此(與(,由上式可知,可以表示成如下形式:.所以.,證明:.證明 顯然,當(dāng)或時(shí),從而,
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