抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-全文預(yù)覽
【正文】 ,若,其中,.由可知,是滿射.,.由于是的子群,因此,從而,存在和,.另一方面,我們有.,易知,從而,即. 所以是到的滿同態(tài).最后,對(duì)于任意(,),我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.(2),:,.顯而易見(jiàn),因此對(duì)于任意的,總有 .因此是到的滿同態(tài).其次,對(duì)于任意的,我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.,是的有限子群,證明:.注 與167。7中的Lagrange定理類似,而且其證明難度不亞于Lagrange定理的證明難度,因此安排在這里不太合適.證明 首先,由于是的子群,當(dāng)時(shí),從而,.其次,由于,因此當(dāng)時(shí),從而.,.由知,存在,使得,存在,使得,我們有. ,設(shè),由于,因此,從而,從而,根據(jù)式可以斷言,即.,假設(shè)的任意兩個(gè)左陪集的乘積仍是一個(gè)左陪集,證明:是的正規(guī)子群.證明 ,因此存在的左陪集,使得,由此可見(jiàn),根據(jù)上式我們又可以斷言,.將上式兩邊左乘,右乘,這就意味著是的正規(guī)子群.167。由可知,存在,由可知,從而,.所以.167。3 子 群,是的由全體階可逆的對(duì)角矩陣組成的子集,證明:是的子群.證明 眾所周知,非空,并且有,其中表示矩陣與矩陣的乘積,.,是的非空子集,證明:是的子群的充分必要條件是,.證明 ,當(dāng)是的子群時(shí),滿足條件.,我們有.因?yàn)闈M足條件,由可知,.因?yàn)闈M足條件, 對(duì)于任意的,是的子群.,證明:也是的子群(稱為的一個(gè)共軛子群).證明 顯然,存在,使得,.因此.所以是的子群.,為整數(shù),令,證明:是的子群.證明 ,則,從而,.由此可見(jiàn),是的子群.,證明:的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合是的子群.證明 ,其中,.于是,從而,.由此可見(jiàn),是的子群.,證明:與具有相同的階.證明 顯然,對(duì)于任意的正整數(shù),從而,.由此可見(jiàn),與具有相同的階.,求的階.解 當(dāng)時(shí),顯然,.當(dāng)時(shí),我們有,從而,.,證明:是交換群.證明 參看167。2 群的概念: 關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)群.證明 首先,眾所周知,.由于矩陣的加法適合結(jié)合律,令,則,并且,.最后,對(duì)于任意的,令,.,證明:關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群.證明 將記作,上的乘法表如下:1 代數(shù)運(yùn)算,上的乘法的乘法表如下:《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》于 延 棟 編鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二零零九年五月第一章 群 論167。當(dāng)時(shí),..(I).這時(shí),.(II),.(III)中有且僅有兩個(gè)相等.當(dāng)時(shí),和是中的兩個(gè)不同元素,從而,.同理可知,當(dāng)或時(shí),都有.,歸納定義為: ,.證明:.進(jìn)而證明:在不改變?cè)仨樞虻那疤嵯?中元素的乘積與所加括號(hào)無(wú)關(guān).證明 當(dāng)時(shí),根據(jù)定義,對(duì)于任意的正整數(shù),等式成立.假設(shè)當(dāng)()時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),由于適合結(jié)合律,我們有.所以,對(duì)于任意的正整數(shù)和,等式成立.考察中任意()個(gè)元素:當(dāng)時(shí),要使記號(hào)變成有意義的記號(hào),:在不改變?cè)仨樞虻那疤嵯?無(wú)論怎樣在其中添加括號(hào),運(yùn)算結(jié)果總是等于.事實(shí)上,當(dāng)或時(shí),無(wú)需加括號(hào),由于適合結(jié)合律,():不妨設(shè)最后一次運(yùn)算是,其中為中前()個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果,根據(jù)歸納假設(shè), .所以最終的運(yùn)算結(jié)果為.,令,證明: 是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,它既不適合結(jié)合律也不適合交換律.證明 眾所周知,對(duì)于任意的,.,.由于,從而,.從而,.所以不適合交換律.167。.其次,對(duì)于任意的,.,是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,若適合結(jié)合律,則稱是一個(gè)半群(或者稱關(guān)于構(gòu)成一個(gè)半群).證明:整數(shù)集關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)半群,但不構(gòu)成一個(gè)群.證明 眾所周知,是非空集合,對(duì)于任意的,總有,并且整數(shù)乘法適合結(jié)合律,對(duì)于任意的,總有.但是,并且不存在,.,:是一個(gè)半群.證明 眾所周知,對(duì)于任意的,總有.這就是說(shuō),上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,所以是一個(gè)半群.注 請(qǐng)同學(xué)們考慮如下問(wèn)題:設(shè)是一個(gè)非空集合, (稱為對(duì)稱差)如下:,.求證:是一個(gè)交換群..證明 眾所周知,對(duì)于任意的,總有,.這就是說(shuō),矩陣的乘法是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.,稱為的一個(gè)左(右)單位元,如果對(duì)于任意的都有().對(duì)于,如果存在使(),則稱左(右)可逆的,是的一個(gè)左(右)(右)單位元且中每個(gè)元素都有關(guān)于的左(右):是一個(gè)群.證明 ,我們有且.因此.所以.由以上兩式可知,是單位元,. 對(duì)于有左單位元且中每個(gè)元素都有關(guān)于的左逆元的情形,請(qǐng)同學(xué)們自己證明.13．設(shè)是一個(gè)群,證明:,.證明 對(duì)于任意的,我們有,.所以,.,證明:是交換群的充要條件是,.證明 ,對(duì)于任意的,我們有,(第5題).17．,證明:是交換群.證明 我們有,.由上題知,是交換群.,是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算且適合結(jié)合律.(1)證明:是一個(gè)群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的,方程和在中都有解.(2)假設(shè)是有限集,證明:是一個(gè)群當(dāng)且僅當(dāng)適合消去律.證明 (1)當(dāng)是一個(gè)群時(shí),顯然,對(duì)于任意的,是方程的解,是方程的解.現(xiàn)在假設(shè)對(duì)于任意的,方程,我們有.由于的任意性,.(2)當(dāng)是一個(gè)群時(shí),根據(jù)第5題,使得,由于適合右消去律,根據(jù)(1),是一個(gè)群. 注 宜將這道題表述成“證明:在不計(jì)循環(huán)置換的順序的意義下,表達(dá)式是唯一的”.證明 顯然,當(dāng)是單位置換時(shí),兩兩不相交,兩兩不相交,(): ,存在(),使得,.,并且,從而,.由于兩兩不相交,兩兩不相
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