抽象函數習題精選精講-全文預覽
【正文】 的函數。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。分析: 由題設知f（x）是的抽象函數，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函數且在（0，4a）上是增函數（這里把a看成進行猜想）。三角函數型抽象函數三角函數型抽象函數即由三角函數抽象而得到的函數。g（b）正確。例設函數y＝f（x）的反函數是y＝g（x）。例設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函數，用數學歸納法證明如下：（1）x＝1時，∵，又∵x ∈N時，f（x）＞0，∴，結論正確。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。指數函數型抽象函數例設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。 分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數，且f（x）為單調增函數，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。分析：由題設可知，函數f（x）是的抽象函數，因此求函數f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴為偶函數。例1：已知 ,求.解：設,則∴∴：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數式，還能進一步復習代換法?，F將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力。∵0,∴,∵為奇函數，∴∴當0時∴例5．一已知為偶函數，為奇函數，且有+， 求,.解：∵為偶函數，為奇函數，∴,不妨用代換+= ………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數再代入①求出：給自變量取特殊值，從而發(fā)現規(guī)律，求出的表達式例6：設的定義域為自然數集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域為N，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數性質，解的有關問題：例7 已知,對一切實數、都成立，且,求證為偶函數
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