抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-文庫吧資料
2025-03-31 02:32本頁面
【正文】 有,從而,.這就是說,(6)成立.最后, (*),當(dāng)時,顯然(*))時,(*)式成立. 當(dāng)時,我們有.所以對于一切正整數(shù),(*)式成立.此外,由于乘法適合結(jié)合律和交換律,由第一章的167。(7)若是交換環(huán),則,.顯然,(5)中應(yīng)加進“其中和為中的任意元素,和為任意正整數(shù)”。1 環(huán)的概念:(5)(7).注 (5)(7)的原文如下:(設(shè)是一個環(huán),則)(5)。7 有限群,是的正規(guī)子群,證明:對于任意的都有.證明 由于,對于任意的,從而,.,證明:存在到的滿同態(tài)的充要條件是.證明 ,.根據(jù)Lagrange定理,我們有,從而,.,.于是,是的正規(guī)子群,.設(shè)是到的同構(gòu),.,為素數(shù),.如果,證明:一定有階為的子群.注 我們介紹過Sylow定理的如下形式:設(shè)是階有限群,其中,是素數(shù),是非負整數(shù),是正整數(shù),對于任意的,: 由知,存在正整數(shù)和,使得,.根據(jù)Sylow定理,.證明 ,使得,.根據(jù)Sylow定理,.為此,對施行第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時,顯然結(jié)論成立.假設(shè)是整數(shù),并且當(dāng)時,對于任意的正整數(shù),:當(dāng)時,對于任意的正整數(shù),有階子群.事實上,由可知,對于的每個真子群,(其中為群的中心),存在,.根據(jù)歸納假設(shè),對于任意的正整數(shù),存在的子群,使得且,從而,.,為素數(shù),如果的每個元素的階都是的方冪,:是群是的一個冪.證明 顯然,當(dāng)是的一個冪時,是群.,存在素數(shù),使的,其中,.根據(jù)Sylow定理,.:階小于或等于5的群都是交換群.證明 ,2階群、3階群和5階群都是循環(huán)群,因而都是交換群.,中元素的階只能是,是循環(huán)群,中的元素,除單位元外,就是Klein四元群,因而是交換群.,是的有限子群,假設(shè),證明:.證明 由于既的子群,又是的子群,根據(jù)167。并且.由于,由(*)式可以推得 . (**)對于任意的,考察與:若,則,從而, .由此可得,從而,.這就表明,諸兩兩不相交. 這樣一來,由(**)式可以知,.,證明:,證明:對于任意的,是一個同態(tài).證明 將到自身的映射, 是群到群的同構(gòu) ,即, , , .假設(shè)是交換群,.將到自身的映射,我們有,.所以是一個同態(tài).,是的正規(guī)子群,證明:.證明 由于是的正規(guī)子群,:.由是群到群的滿同態(tài)可知是到的滿射.其次,注意到是的正規(guī)子群,對于任意的,有.所以是到的滿同態(tài).最后,對于任意的,我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.,(此時稱是和的內(nèi)直積),證明:.證明 定義到的映射如下:,.由可知,并且.于是,從而,從而,.這意味著且,是單射,從而,是雙射. 對于任意的,我們有,.由于,是的正規(guī)子群且,由167。7習(xí)題中.證明 ,既是的子群, , (*)其中,.顯然,諸兩兩不相交。是的正規(guī)子群.考察任意的:假設(shè) ,其中,.則,從而,.因此.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對于任意的,若,其中,.由可知,是滿射.,.由于是的子群,因此,從而,存在和,.另一方面,我們有.,易知,從而,即. 所以是到的滿同態(tài).最后,對于任意(,),我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.(2),:,.顯而易見,因此對于任意的,總有 .因此是到的滿同態(tài).其次,對于任意的,我們有.,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.,是的有限子群,證明:.注 與167。是群到群的同構(gòu).證明 眾所周知,又因保持乘法運算,故對于任意的總有,從而,.所以是群到群的同構(gòu).眾所周知,故對于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu).,是的共軛子群,證明:與同構(gòu).證明 定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,對于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu),從而,.,證明:對于任意的,.舉例說明,若是群到群的同態(tài),則的階與的階不一定相同.證明 ,我們可以斷言:對于任意的正整數(shù),我們有.由此可見,.假設(shè),其中為的單位元,使得,則,從而,..注 :設(shè)是一個群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則。7中的Lagrange定理類似,而且其證明難度不亞于Lagrange定理的證明難度,因此安排在這里不太合適.證明 首先,由于是的子群,當(dāng)時,從而,.其次,由于,因此當(dāng)時,從而.,.由知,存在,使得,存在,使得,我們有. ,設(shè),由于,因此,從而,從而,根據(jù)式可以斷言,即.,假設(shè)的任意兩個左陪集的乘積仍是一個左陪集,證明:是的正規(guī)子群.證明 ,因此存在的左陪集,使得,由此可見,根據(jù)上式我們又可以斷言,.將上式兩邊左乘,右乘,這就意味著是的正規(guī)子群.167。由于是群的正規(guī)子群,從而,.因此,從而,.由此可見.,證明:是的正規(guī)子群.證明 我們已經(jīng)知道,.,.當(dāng)時,并且,由可知,..,.假設(shè)只有一個階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.證明 任取,考察:由167。由可知,存在,由可知,從而,.所以.167。4 循環(huán)群:循環(huán)群是交換群.證明 ,(參看課本第12頁倒數(shù)第4行).眾所周知,.所以是交換群.,.假設(shè)的階為,證明:對任意整數(shù),有. 證明 , .,是任意整數(shù),證明:與具有相同的階且.證明 ,我們有.,從而, .由此可見,.,證明:當(dāng)且僅當(dāng).
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