[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略(編輯修改稿)
2025-02-03 19:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 又令 得 ， 故 為奇函數(shù)， ， 上的值域?yàn)? 二 . 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉 “ ”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例 3 已知 是定義在（ ）上的偶函數(shù)，且在（ 0， 1）上為增函數(shù)，滿足 ，試確定 的取值范圍。 解： 是偶函數(shù)，且在（ 0， 1）上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)， 由 得 。 （ 1）當(dāng) 時(shí)， ，不等式不成立。 （ 2）當(dāng) 時(shí)， （ 3）當(dāng) 時(shí)， 綜上所述，所求 的取值范圍是 。 例 4 已知 是定義在 上的減函數(shù)，若 對(duì) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 解： 對(duì) 恒成立 對(duì) 恒成立 對(duì) 恒成立， 三 . 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 例 5 已知函數(shù) 對(duì)任意 有 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，求不等式 的解集。 解：設(shè) 且 則 ， 即 ， 故 為增函數(shù)， 又 因此不等式 的解集為 。 四 . 證明某些問 題 例 6 設(shè) 定義在 R 上且對(duì)任意的 有 ，求證： 是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。 分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出 （ T 為非零常數(shù)）則 為周期函數(shù)，且周期為 T。 證明： 得 由（ 3）得 由（ 3）和（ 4）得 。 上式對(duì)任意 都成立，因此 是周期函數(shù)，且周期為 6。 例 7 已知 對(duì)一切 ，滿足 ，且當(dāng) 時(shí)， ，求證：（ 1） 時(shí)， （ 2） 在 R上為減函數(shù)。 證明： 對(duì) 一切 有 。 且 ，令 ，得 ， 現(xiàn)設(shè) ，則 ， ， 而 ， 設(shè) 且 ， 則 ， 即 為減函數(shù)。 五 . 綜合問題求解 抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”前的 “負(fù)號(hào) ”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”。 例 8 設(shè)函數(shù) 定義在 R 上，當(dāng) 時(shí)， ，且對(duì)任 意 ，有 ，當(dāng) 時(shí) 。 （ 1）證明 ； （ 2）證明： 在 R 上是增函數(shù)； （ 3）設(shè) ， ，若 ，求 滿足的條件。 解：（ 1）令 得 ， 或 。 若 ，當(dāng) 時(shí)，有 ，這與當(dāng) 時(shí)， 矛盾， 。 （ 2）設(shè) ，則 ，由已知得 ，因?yàn)? ， ，若 時(shí)， ，由 （ 3）由 得 由 得 （ 2） 從（ 1）、（ 2）中消去 得 ，因?yàn)? ， 即 例 9 定義在（ ）上的函數(shù) 滿足（ 1），對(duì)任意 都有 ， （ 2）當(dāng) 時(shí)，有 ， （ 1）試判斷 的奇偶性；（ 2）判斷 的單調(diào)性； （ 3）求證 。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。 解：（ 1）對(duì)條件中的 ，令 ，再令 可得 ，所以 是奇函數(shù)。 （ 2）設(shè) ，則 ， ，由條件（ 2）知 ，從而有 ，即 ，故 上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知， 在（ 0， 1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。 （ 3） 抽象函數(shù)問題分類解析 我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近
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