【文章內(nèi)容簡介】 的一個(gè)常數(shù)，設(shè)時(shí)，取得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在上的函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。解：（1）若、則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，即，又∵∴，即時(shí)，又∵，∴。 綜上，得 。 易知，是奇函數(shù)，∵時(shí)，函數(shù)有最大值，∴時(shí)，函數(shù)有最小值。故猜測：時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增。（3）依題意，只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。 如對(duì)，此時(shí)， 即 。（文）已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，存在，使得是的最大值，是的最小值；（Ⅲ）對(duì)滿足（Ⅱ）的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，試構(gòu)造一個(gè)定義在，且上的函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，則在上單調(diào)遞減，不符題意。故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足 ，∴ 。（Ⅱ）若，則無最大值，故，∴為二次函數(shù)，要使有最大值，必須滿足，即且，此時(shí)，時(shí)，有最大值。又取最小值時(shí)，依題意，有，則，∵且，∴，得，此時(shí)或。∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)是。（Ⅲ）當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)是時(shí)，依題意，只需構(gòu)造以2（或2的正整數(shù)倍）為周期的周期函數(shù)即可。如對(duì)，此時(shí)，故。3有窮數(shù)列{an}，Sn為其前n項(xiàng)和，定義為數(shù)列{an}的“凱森和”， 如果有99項(xiàng)的數(shù)列aaa…、a99的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列 aaaa…a99的“凱森和”= 991 。3先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知，求證， 證明：構(gòu)造函數(shù) 因?yàn)閷?duì)一切x206。R，恒有≥0，所以≤0, 從而得， （1）若，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣式； （2）參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。解：（1）若，求證： (4162。)（2）證明：構(gòu)造函數(shù) (6162。) (9162。) (11162。) 因?yàn)閷?duì)一切x206。R，都有≥0，所以△=≤0, 從而證得：. (14162。)3已知兩個(gè)向量， .（1）若t=1且，求實(shí)數(shù)x的值；（2）對(duì)t206。R寫出函數(shù)具備的性質(zhì).解：（1）由已知得 ……2分 ……4分解得，或 ……6分（2） ……8分具備的性質(zhì)：①偶函數(shù)；②當(dāng)即時(shí)，取得最小值（寫出值域?yàn)橐部桑虎蹎握{(diào)性：在上遞減，上遞增；由對(duì)稱性，在上遞增，在遞減 ……14分說明：寫出一個(gè)性質(zhì)得3分，寫出兩個(gè)性質(zhì)得5分，寫出三個(gè)性質(zhì)得6分，包括寫出函數(shù)的零點(diǎn)（，）等皆可。寫出函數(shù)的定義域不得分，寫錯(cuò)扣1分3對(duì)于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時(shí)，集合N={1, 2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1, 2}，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2–1)=4，請(qǐng)你嘗試對(duì)n=n=4的情況，計(jì)算它的“交替和”的總和SS4，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn= n .2n–1 。(不必給出證明)若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對(duì)于橢圓有。類似地，對(duì)于雙曲線有= 。4已知（1）, 求的最小值（2）P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，若點(diǎn)P在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)的圖象，求曲線C的軌跡方程。（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從可抽象出的性質(zhì)，試分別寫出一個(gè)具體的函數(shù)，抽象出下列相應(yīng)的性質(zhì)由 可抽象出由 可抽象出(1) …………3’等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立， …………………………4’(2)設(shè)P(x,y)則Q(2x,4y)………………………………………………5’由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’4已知函數(shù)的最大值為正實(shí)數(shù)，集合，集合。（1）求和；（2）定義與的差集：且。設(shè)，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使。（3）若函數(shù)中， 是（2）中較大的一組，試寫出在區(qū)間[,n]上的最大值函數(shù)的表達(dá)式。 答案：（1）∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分 ∴。…………………………6分 （2）要使?？梢允耿僦杏?個(gè)元素，中有2個(gè)元素， 中有1個(gè)元素。則?！?分②中有6個(gè)元素，中有4個(gè)元素， 中有2個(gè)元素。則…………………………………………………………………………12分（3）由（2）知…………………………13分 ………………………………………………18分1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy…4在數(shù)學(xué)拓展課上，老師規(guī)定了一種運(yùn)算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，則函數(shù)的值域?yàn)椤?已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N） 順次為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)， 點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N） 順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0＜a＜1）， 對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以 Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形。⑴求{yn}的通項(xiàng)公式，且證明{yn}是等差數(shù)列；⑵試判斷xn+2xn是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； ⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在， 請(qǐng)說明理由。解：（1）(n206。N),yn+1yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 (4162。) （2）xn+1xn=2為常數(shù) (6162。) ∴x1,x3,x5,…,x2n1及x2,x4,x6,…，x2n都是公差為2的等差數(shù)列， ∴x2n1=x1+2(n1)=2n2+a，x2n=x2+2(n1)=2a+2n2=2na， ∴xn= (10162。) （3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()222。xn+1xn=2() 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn+1=n+1a，xn=n+a1,∴xn+1xn=2(1a). 222。2(1a)=2() 222。a=(n為奇數(shù)，0＜a＜1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14162。) 當(dāng)偶數(shù)時(shí)，xn+1=n+a，xn=na，∴xn+1xn=2a. ∴2a=2()222。a=(n為偶數(shù)，0＜a＜1) (*162。)，取n=2，得a=, 若n≥4，則(*162。)無解. 綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、. (18162。)4⑴證明：當(dāng)a＞1時(shí)，不等式成立。⑵要使上述不等式成立，能否將條件“a＞1”適當(dāng)放寬？若能，請(qǐng)放寬條件并簡述理由；若不能，也請(qǐng)說明理由。 ⑶請(qǐng)你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。解：（1）證：,∵a＞1，∴＞0， ∴原不等式成立 (6162。) （2）∵a1與a51同號(hào)對(duì)任何a＞0且a185。1恒成立，∴上述不等式的條件可放寬 為