高中數學抽象函數、復合函數綜合練習試題(編輯修改稿)
2025-09-01 18:07 本頁面
【文章內容簡介】 的單調性；ⅳ 若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數為增函數； 若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數為減函數。（4）例題演練例 求函數的單調區(qū)間，并用單調定義給予證明解：定義域 單調減區(qū)間是 設 則 =∵ ∴ ∴ 又底數 ∴ 即 ∴在上是減函數同理可證：在上是增函數［例］討論函數的單調性.［解］由得函數的定義域為則當時，若，∵為增函數，∴為增函數.若，∵為減函數.∴為減函數。當時，若，則為減函數，若，則為增函數.例.已知y=(2)在［0，1］上是x的減函數，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1當a＞1時，函數t=20是減函數由y= (2)在［0，1］上x的減函數，知y=t是增函數，∴a＞1由x［0，1］時，22a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2當0a1時，函數t=20是增函數由y= (2)在［0，1］上x的減函數，知y=t是減函數，∴0a1由x［0，1］時，221＞0, ∴0a1綜上述，0a1或1＜a＜2例已知函數（為負整數）的圖象經過點，且在區(qū)間上是減函數？并證明你的結論。［解析］由已知，得，其中 ∴即，解得∵為負整數，∴∴，即 ，∴假設存在實數，使得滿足條件，設，∴∵，當時，為減函數，∴，∴∵,∴,∴,∴ ①當時, 增函數,∴∵,∴,∴. ②由①、②可知，故存在（5）同步練習：1．函數y＝（x2－3x＋2）的單調遞減區(qū)間是（ ）A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，） D．（，＋∞）解析：先求函數定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數t（x）在（－∞，1）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調遞減．答案：B2找出下列函數的單調區(qū)間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數，在上是減函數。（2）單調增區(qū)間是，減區(qū)間是。討論的單調性。答案：時為增函數，時，為增函數。4．求函數y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區(qū)間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數的值域是R＋．因為函數y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數y＝（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數，在［，＋∞］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4也為減函數的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4為增函數的區(qū)間，即（4，＋∞）．變式練習 一、選擇題 1．函數f（x）＝的定義域是（ ?。 ?A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D． 解析：要保證真數大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0， 所以解得1＜x≤2． 答案：D 2．函數y＝（x2－3x＋2）的單調遞減區(qū)間是（ ?。 ?A．（－∞，1
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