【正文】 答。 那么對于 (2)又如何 解答呢？與 (1)相比，就是在 |PF2|前 多了個系數(shù) 2，也只能是 2（否則無解），我們可以用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將同側（內部）問題轉化為異側問題來求解。 橢圓的第二定義是：平面內到一定點 F2 的距離與到一定直線 l 的A 178。 F2 F1 178。 178。 P x y o N M 27 A 178。 F2 F1 178。 178。 P x y o R S A 178。 F2 F1 178。 178。 P x y o M l 距離之比為小于 1 的常數(shù)的點的軌跡就叫做橢圓。其中定點為焦點，定直線為此焦點相應的準線，小于 1 的常數(shù)就是橢圓的離心率 e。 如圖， PM⊥ l 于 M，則 ePMPF ?|| || 2，所以 |PM|=e1 |PF2| 本題中，橢圓的離心率 e=21 ，所以 |PM|=2|PF2| 所以 |PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我們將問題轉化為從定點 A 到準線 l 的“折線段”PA 與 PM 的長的和的問題，也就是說將同側（內部）兩點的距離和問題轉化成了異側一點一線距離和的問題。顯然當 A、 P、 M 三點共線且垂直于直線 l 時， |PA|+|PM 最小，即直接過 A 作準線 l 的垂直交橢圓于 P 點，則 P 即為所求作。 這種轉化看來只適用于形如 |PA|+e1 |PF2|的最小值的問題。 以上我們給出了解決圓錐曲線中這兩種最 值的解題策略和具體做法，即利用圓錐曲線的定義實現(xiàn)了問題的轉化，即同異互化，回歸定義。 本文開頭的問題具體解答如下： (1) 由已知橢圓方程得： a=4,b=2 3 ,所以 c=2,所以 F1(2,0),F2(2,0) 因為 P 在橢圓上，所以 |PF1|+|PF2|=2a=8, 所以 |PF2|=8|PF1| 所以 |PA|+|PF2|=|PA|+8|PF1|=|PA||PF1|+8 過 A、 F1 作直線 RS 交橢圓于 R、 S 兩點， 因為 ||PA||PF1||≤ |AF1|= 26 ， 所以 8 26 ≤ |PA|+|PF2|≤ 8+ 26 當 P為 S點時， |PA|+|PF2|的最小值為 8 26 當 P 為 R 點時， |PA|+|PF2|的最大值為 8+ 26 (2)易求得橢圓的離心率為 e=21 ，右準線 l 方程為 x=8 過 P 作 l 的垂線交 l 于 M 點，則 |PM|=e1 |PF2|=2|PF2|,所以 |PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|， 當 A、 P、 M 三點共線且垂直于 l 時， |PA|+|PM|最小，且最小值就是點 A 到直線 l 的距 28 離。易求得 A 到直線的距離為 5，所以 |PA|+2|PF2|的最小值為 5，此時點 P 的縱坐標為 1，將 y=1 代入橢圓方程得 x= 3332 ,所以點 P 的坐標為 ( 3332 ,1). 下面我們給出幾個題目供同學們練習鞏固： 1．已知兩點 A(4,1)和 B(1,11)， （ 1） 試在 x 軸上求一點 P，使得 |PA|+|PB|最小。 （ 2）試在 y 軸上求一點 Q，使得 |PA||PB|最大。 2．已知 A(3,1)，雙曲線 C 的方程為 1124 22 ?? yx ， F F2 是它的左右兩個焦點，試在雙曲線 C 上求一點 P， (1)使得 |PA|+|PF2|最小； (2)使得 |PA|+21 |PF2|最小 . 3．已知 A(4,1)， F 為拋物線 y2=4x 的焦點， P 為拋物線上任一點，求 |PA|+|PF|最小值。 求解圓錐曲線中的最值問題 例 xy 22 ? 上與點 A )0,32( 距離最近的點 P 及相應的距離 PA 。 解：設 ),( yxM 是曲線上任意一點，即 xy 22 ? ， 31)31(2)32()32( 22222 ????????? xxxyxMA ， 0?x ， 此關于 x 的函數(shù)在 ? ???,0 上單調遞增， 其最小值在 0?x 時取得，此時 94min2 ?MA， 故所求 )0,0(P ，相應的距離 32?PA 。 評析：上述解題過程是將求圓錐曲線最值轉化為討論二次函數(shù)最值，其中運用配方法進行恒等變形。此時應注意其定義域受題設條件限制時，要避免簡單地認為一定在拋物線頂點處取得最值。 例 求橢圓 11216 22 ?? yx 上到直線 0122: ??? yxl 距離最短的點 M 及相應的距離。 解：設橢圓上任意點 )sin32,co s4( ??M ，該點到直線 l 的距離 29 F1 F2 A M x y O 3)3c o s (25 545 12s i n32c o s4 ?????? ????d ， 當 1)3cos( ???? 即 32 ??? ?? k 時， 554min ?d， 此時， 2cos4 ?? ， 3sin32 ??? ， 即所求點 )3,2( ?M ，相應的距離為 554 。 評析：解題時恰當?shù)匾雲(yún)?shù)，可以簡化繁瑣的計算過程，并提供進一步利用函數(shù)性質的可能性。 例 、 2F 分別是橢圓 11625 22 ?? yx 的左右焦點， )2,2(A 為定點， M 為橢圓上任意點，求 2MFMA? 的最小值。 解：連結 1MF 、 1AF ，則 1021 ?? MFMF ， ),( 111 三點共線時取等號當且僅當 MAFMFAFMA ?? ， 102121 ?????? MFMFMFAFMA ， ),(10 112 三點共線時取等號當且僅當 MAFAFMFMA ???? ； 由 29)0,3(34,5 11 ???????? AFFcba ),(2910 12 三點共線時取等號當且僅當 MAFMFMA ???? 。 評析：回歸圓錐曲線定義，并結合平面幾何相關定理，使求解過程顯得自然流暢。 例 ， A 、 F 分別是橢圓 ? ? ? ? 112 116 1 22 ???? xy 長軸上頂點和對應焦點，位于 x 軸正半軸上的動點 )0,(tT 與 F 的連線交射線 OA 于 Q ，求：（ 1）點 A 、 F 的坐標和直線 TQ 的方程 ； （ 2） OTQ? 的面積 S 關于 t 的函數(shù) )(tfS? 及其最小值。 30 y x Q o F T A 解 :（ 1）橢圓中心 )1,1( ? ， 4?a ， 32?b ， 2??c ，點 A )3,1( 、 F )1,1( ； 直線 TQ 即直線 TF ， )1(1)1(1: ??????? tttxytxl 或所求 。 （ 2）當 1?t 時， 3?? AQ yy ， 233121 ?????O T QS； 當 1?t 時，由32123313 ??????????????? tt tyttxy xy Q， ? ?232 323 32121 2????????? t tt ttyOTS QO T Q ， ? ? 222 )23(6 2)23()23(6 )3()23(2 3 ? ??????? ttt tt t = )423 423(61 ???? tt 34423 4)23(261 ??????? ???? ? tt， 當且僅當 23 423 ??? tt 即 34?t 時等號成立。 即所求? ?????????????)1(232 3)1(23)( 2tttttfS ， ?minS 34 （當 34?t 時）。 評析：利用均值不等式性質定理來解圓錐曲線最值問題時，要先將目標函數(shù)配湊成積（或和）為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的重要前提。 例 已知橢圓 12222 ?? nymx )0,( ?nm ，過原點且傾斜角為 ? 和 ??? )20( ???? 的兩條直線分別交橢圓于 A 、 C 和 B 、 D 四點， （ 1）用 ? 、 m 、 n 表示四邊形 ABCD 的面積 S ； （ 2）若 m 、 n 為定值，當 40 ???? 時，求 S 的最大值。 解：（ 1）過原點且傾斜角為 ? 的直線為 ?xtgy? ， 31 由方程組????? ?? ?? 12222nymx tgxy ? )20( ???? 可得 ?222222tgmn nmx ?? ，??2222222tgmn tgnmy ?? ， 所求????tgmntgntgmntgnmxyS22222222 444????? 。 （ 2）令 )10()(22 ????? ???? tgtgm ntgtgfy， 當 nm? 即 10 ??mn 時，mntgm ntgtgf 22)( 22 ?????? 此時 mnmnnS 2242 ?? （當且僅當mntg ?? 時取等號）； 當 nm? 即 1?mn 時， )( ?tgfy? 在 ? ?1,0 上是減函數(shù)， 22)1()( m mnftgf ???? ，此時22222222 44mnmnmmnnS????。 綜合所得，所求????? ??????)0(4)0(22222m a x nmnmnm mnmnS 。 評析：上述解題過程中運用函數(shù) xtxxf ??)( )0,0( ?? tx 的重要性質： )(xf 在區(qū)間 ? ?t,0 上單調遞減，在區(qū)間 ? ???,t 上單調遞增。此函數(shù)性質在實際中有著廣泛的應用，已成為高考命題的生長點與熱點。 綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯(lián)系圓錐曲線的定義和性質，重視運用數(shù)形結合，將問題轉化為一定的函數(shù)關系或不等式進行討論。概括來說：先根據(jù)題設條件，恰當選擇某個與目標密切相關的自變量，并確定目標函數(shù)的解析式；在充分考慮函數(shù)的定義域、不等式的最值條件等前提下，應用函數(shù)的單調性、均值不等式定理及其推論等進行分類討論。 32 圓錐曲線的定義及應用 一、圓錐曲線的定義 1. 橢圓：到兩個定點的距離之 和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即： {P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)}。 2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即 {P|||PF1||PF2||=2a, (2a|F1F2|)}。 3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比 e 是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當 0e1 時為橢圓：當 e=1 時為拋物線；當 e1 時為雙曲線。 二、圓錐曲線的方程。 ： + =1（ ab0）或 + =1（ ab0）（其中， a2=b2+c2） ： =1（ a0, b0）或 =1（ a0, b0）（其中， c2=a2+b2） ： y2=177。2px（ p0）， x2=177。2py（ p0） 三、圓錐曲線的性質 ： + =1（ ab0） （ 1）范圍： |x|≤a， |y|≤b （ 2）頂點： (177。a,0)， (0,177。b) （ 3）焦點： (177。c,0) （ 4）離心率： e= ∈ (0,1) （ 5）準線： x=177。 ： =1（ a0, b0） （ 1）范圍： |x|≥a, y∈ R （ 2）頂點： (177。a,0) （ 3）焦點： (177。c,0) （ 4）離心率： e= ∈ (1,+∞) （ 5）準線： x=177。 （ 6）漸近線： y=177。 x 33 ： y2=2px(p0) （ 1）范圍： x≥0, y∈ R （ 2）頂點：（ 0,0） （ 3）焦點：（ ,0） （ 4） 離心率： e=1 （ 5）準線： x= 四、例題選講： 例 2，長軸是短軸的 2 倍，則橢圓中心到準線的距離是 __________。 解 ：由題： 2b=2， b=1， a=2， c= = ，則橢圓中心到準線的距離： = = 。 注意 ：橢圓本身的性質（如焦距，中心到準線 的距離，焦點到準線的距離等等）不受橢圓的位置的影響。 例 + =1 的離心率 e= ，則 m=___________。 解 ：（ 1）橢圓的焦點在 x 軸上， a2=m， b2=4， c2=m4， e2= = = m=8。 （ 2）橢圓的焦點在 y 軸上， a2=4， b2=m， c2=4m， e2= = = m=2。 注意 ：橢圓方程的標準形式有兩個，在沒有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑主觀丟掉一解。 例 ：橢圓 + =1（ ab0）， F1為左焦