高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之拋物線(匯總解析版)-資料下載頁
2025-04-04 05:15本頁面
【正文】 的焦點為，準線方程為設(shè)，則，于是由，有?，?又，即于是過拋物線上，兩點的切線方程分別為，即，聯(lián)立，得 于是，而（）由?有，?，得 ，即 代入?中，得 ，即 ，于是故由（）式，有，即為定值，其值為0.解（2）：由（1）知，又又由，有，當且僅當，即（舍去）時，“=”成立故，當且僅當時，取得最小值4.30. 已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)、是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當、變化且為定值（）時，證明：直線恒過某一定點，并求出該定點的坐標.解（1）：設(shè)動圓圓心為，記定點為，過點作直線于點則由題意知，這表明，點到定點的距離與它到定直線的距離相等于是點的軌跡為拋物線，其中是其焦點，是其準線故動圓圓心的軌跡的方程為（）證（2）：設(shè)，則由題意知，并且于是直線的斜率存在且不為零，不妨設(shè)其方程為（）聯(lián)立，得 由韋達定理，有（ⅰ）當時，不存在，但有于是于是此時直線的方程為，即這表明，當時，直線恒過定點（ⅱ）當時，存在于是此時直線的方程為，即這表明，當時，直線恒過定點故當時，直線恒過定點；當時，直線恒過定點.31. 設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點作直線，與交于、兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：340（1） 求、的標準方程；（2） 設(shè)是準線上一點，直線的斜率為，、的斜率依次為、請?zhí)骄浚号c的關(guān)系；（3） 若與交于、兩點，為的左焦點，問是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為（），拋物線的標準方程為（）由上表可見，橢圓必過點于是：若過點，則有，這顯然不成立若過點，則有，這顯然不成立若過點，則有，成立因此橢圓的標準方程為，并且可知，拋物線：必過、兩點于是有或因此拋物線的標準方程為（2） 由（1）知，：，其焦點為，準線方程為（?。┊斨本€的斜率存在時，不妨設(shè)其斜率為，則由其過點可知，直線的方程為，即設(shè)，則，（）聯(lián)立，得 由韋達定理，有于是由（）式，有因而此時（ⅱ）當直線的斜率不存在時，于是，因而此時故總有（3） 由（1）知，：，其左、右焦點分別為、設(shè)點到直線的距離為（ⅰ）當直線的斜率存在時，不妨設(shè)其斜率為，則由其過點可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立，得 由韋達定理，有于是設(shè)，聯(lián)立，得 由韋達定理，有于是因而此時（ⅱ）當直線的斜率不存在時，，于是，因而此時這表明，總有故有最小值，并且最小值為.32. 已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線，分別交于、兩點，交的準線于、兩點.（1） 若在線段上，是的中點，證明：；（2） 若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.證（1）：在拋物線中，即該拋物線的焦點為，準線方程為（?。┊敳淮怪庇谳S時，設(shè)，則，于是，直線的方程為，即又點在直線上于是于是故（ⅱ）當垂直于軸時，此時四邊形為矩形由，，有又四邊形為平行四邊形故綜上可知，總有解（2）：（?。┊敳淮怪庇谳S時，設(shè)直線交軸于點則而于是設(shè)直線交軸于點則于是又或（舍去）于是設(shè)線段的中點為則由，有，即于是有（）又由是線段的中點，有，即于是由（）式，有，即又當不垂直于軸時，線段的中點不在軸上故當不垂直于軸時，點的軌跡方程為（）（ⅱ）當垂直于軸時，點與點重合，此時點的軌跡為點，滿足方程綜上可知，中點的軌跡方程為. WORD格式整理
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