高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之拋物線(匯總解析版)-資料下載頁
2025-04-04 05:15本頁面
【正文】 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)，則，于是由，有?，?又，即于是過拋物線上，兩點(diǎn)的切線方程分別為，即，聯(lián)立，得 于是，而（）由?有，?，得 ，即 代入?中，得 ，即 ，于是故由（）式，有，即為定值，其值為0.解（2）：由（1）知，又又由，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍去）時(shí)，“=”成立故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值4.30. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)、是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且為定值（）時(shí)，證明：直線恒過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解（1）：設(shè)動圓圓心為，記定點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)則由題意知，這表明，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等于是點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中是其焦點(diǎn)，是其準(zhǔn)線故動圓圓心的軌跡的方程為（）證（2）：設(shè)，則由題意知，并且于是直線的斜率存在且不為零，不妨設(shè)其方程為（）聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有（ⅰ）當(dāng)時(shí)，不存在，但有于是于是此時(shí)直線的方程為，即這表明，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)（ⅱ）當(dāng)時(shí)，存在于是此時(shí)直線的方程為，即這表明，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)故當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn).31. 設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，、的焦點(diǎn)均在軸上，過的焦點(diǎn)作直線，與交于、兩點(diǎn)，在、上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：340（1） 求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 設(shè)是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線的斜率為，、的斜率依次為、請?zhí)骄浚号c的關(guān)系；（3） 若與交于、兩點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，問是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）由上表可見，橢圓必過點(diǎn)于是：若過點(diǎn)，則有，這顯然不成立若過點(diǎn)，則有，這顯然不成立若過點(diǎn)，則有，成立因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，并且可知，拋物線：必過、兩點(diǎn)于是有或因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2） 由（1）知，：，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為（?。┊?dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)其斜率為，則由其過點(diǎn)可知，直線的方程為，即設(shè)，則，（）聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有于是由（）式，有因而此時(shí)（ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，于是，因而此時(shí)故總有（3） 由（1）知，：，其左、右焦點(diǎn)分別為、設(shè)點(diǎn)到直線的距離為（?。┊?dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)其斜率為，則由其過點(diǎn)可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有于是設(shè)，聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有于是因而此時(shí)（ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，于是，因而此時(shí)這表明，總有故有最小值，并且最小值為.32. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線，分別交于、兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn).（1） 若在線段上，是的中點(diǎn)，證明：；（2） 若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.證（1）：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為（?。┊?dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)，則，于是，直線的方程為，即又點(diǎn)在直線上于是于是故（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，此時(shí)四邊形為矩形由，，有又四邊形為平行四邊形故綜上可知，總有解（2）：（ⅰ）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)則而于是設(shè)直線交軸于點(diǎn)則于是又或（舍去）于是設(shè)線段的中點(diǎn)為則由，有，即于是有（）又由是線段的中點(diǎn)，有，即于是由（）式，有，即又當(dāng)不垂直于軸時(shí)，線段的中點(diǎn)不在軸上故當(dāng)不垂直于軸時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（）（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)，滿足方程綜上可知，中點(diǎn)的軌跡方程為. WORD格式整理
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