【正文】 等于它到準線的距離，即 417??，解得 21p 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 33?拋物線方程為： yx?2，將 )4,(mA代入拋物線方程，解得 2??m（Ⅱ）由題意知，過點 ,2tP的直線 Q斜率存在且不為 0，設其為 k。則 )(:2xktylPQ?，當 ,02ktxy??? 則 ),(2tM??。聯(lián)立方程 ????t2，整理得： 0)2?t即： 0)]()[(?tkxt，解得 ,tx?或 k?,2Q?，而 QPN?， ?直線 N斜率為 1 )]([1)(:2tkxtkylN?，聯(lián)立方程 ??????yxtktky2)]([)(整理得： 022 ????ttx，即：0]1)([2 ??tktkx )([tx，解得： ktx1)(??，或 tkx??][,)(2kktN???， )1(1)( 22?????ktktktKNM而拋物線在點 N 處切線斜率： ktyktx 2)(1)( ??????切?MN 是拋物線的切線， ttk)2)(2?， 整理得 0122???tk)(4???t，解得 3?t（舍去） ，或 3?t， 2min??t43.（2022 北京文） （本小題共 14 分） 已知雙曲線2:1(0,)xyCab???的離心率為 ，右準線方程為 3x。（Ⅰ）求雙曲線 C 的方程；（Ⅱ）已知直線 xym?與雙曲線 C 交于不同的兩點 A，B，且線段 AB 的中點在圓 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 3425xy??上，求 m 的值. 【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．解（Ⅰ）由題意，得23ac?????，解得 1,3ac?，∴ 22bca??，∴所求雙曲線 C的方程為21yx?.（Ⅱ）設 A、B 兩點的坐標分別為 ??12,y，線段 AB 的中點為 ??0,Mxy， 由210yxm???????得 220xm??（判別式 0??）,∴ 1200,y?,∵點 ??0,Mx在圓 25?上，∴ 225m?，∴ 1m?.44.（2022 北京理） （本小題共 14 分）已知雙曲線2:(0,)xyCab???的離心率為 3，右準線方程為 3x?（Ⅰ）求雙曲線 的方程；（Ⅱ）設直線 l是圓 2:Oxy?上動點 00(,))Pxy?處的切線， l與雙曲線 C交于不同的兩點 ,AB，證明 ?的大小為定值.【解法 1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．（Ⅰ）由題意，得23ac?????，解得 1,3ac?， ∴ 22bca??，∴所求雙曲線 C的方程為21yx??. 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 35（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡得 02xy??.由201xy?????及 20xy得 ??22022348xx????，∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B ，且 20?，∴ 2034x??，且 ??220226438xx?????，設 A、B 兩點的坐標分別為 12,y，則 0012128,3434xxx?????，∵ cosOBA????，且 ??12120222xyxxy??????，2120221204????????220222202288334xx???????22022x??.∴ AOB?的大小為 9?.【解法 2】 （Ⅰ）同解法 1.（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?， 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 36化簡得 02xy??.由201yx???????及 20xy??得??2202248? ①0xyx? ②∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B ，且 20x?，∴ 2034x??，設 A、B 兩點的坐標分別為 ??12,y，則220222188,34xy???，∴ 12OABx????，∴ AOB?的大小為 90?.（∵ 20y?且 0?，∴ 220,xy??，從而當 2034x??時，方程①和方程②的判別式均大于零）.45.（2022 江蘇卷） （本題滿分 10 分）在平面直角坐標系 xoy中，拋物線 C 的頂點在原點，經(jīng)過點 A（2，2） ，其焦點 F 在 x軸上。（1）求拋物線 C 的標準方程；（2）求過點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程；（3）設過點 (,0)Mm?的直線交拋物線 C 于 D、E 兩點，ME=2DM，記 D 和 E 兩點間的距離為 ()f，求 ()fm關于 的表達式。 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 3746.(2022山東卷理)（本小題滿分 14 分）設橢圓 E: 21xyab??（a,b0）過 M（2， ） ，N ( 6,1)兩點，O 為坐標原點，（I）求橢圓 E 的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且OAB???？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓 E: 21xyab??（a,b0）過 M（2， ） ，N ( 6,1)兩點,所以2416ab??????解得284????所以2????橢圓 E 的方程為2184xy??（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且OAB???,設該圓的切線方程為 ykxm??解方程組 2184xykm??????得 22()8xk??,即 22(1)480kxm???, 則△= 26(1))()0kk???,即 20km?? 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 3812248kmx???????, 22221212112(8)48())()11kmkmkykxkxmx??????????要使 OAB???,需使 120y,即2280k?,所以 230,所以2380mk???又 4k??,所以 23m????,所以 28,即 6m?或63?,因為直線 yx?為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為21mrk??,22831rmk??, 263r?,所求的圓為 283xy??,此時圓的切線 yx都滿足 26?或 ?,而當切線的斜率不存在時切線為263??與橢圓2184y??的兩個交點為 26(,)3?或 26(,)3??滿足OAB???,綜上, 存在圓心在原點的圓 28xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 O??.因為12248kmx???????,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx???????????,?? 22222111()|()())AByxk4224353[]kk?????, 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 39①當 0k?時 231|[]4ABk??因為 2148k??所以 2022k??,所以 23[]4k??,所以 46|33AB?當且僅當 2??時取”=”. ② 當 0k?時, 46|.③ 當 AB 的斜率不存在時, 兩個交點為 26(,)3?或 26(,)3??,所以此時 46|3AB?,綜上, |AB |的取值范圍為 |23AB?即: 4|[6,23]?【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題 ,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.47. (2022山東卷文)（本小題滿分 14 分）設 mR?,在平面直角坐標系中,已知向量 (,1)amxy???,向量 (,1)bxy???, ab??,動點()Mxy的軌跡為 E.（1）求軌跡 E 的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀。 （2）已知 41?,證明:存在圓心在原點的圓 ,使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A,B,且 O?(O 為坐標原點),并求出該圓的方程。(3)已知 m,設直線 l與圓 C: 22xyR??(1R2)相切于 A1,且 l與軌跡 E 只有一個公共點 B1,當 R 為何值時,|A 1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因為 ab?, (,)?, (,1)b??, 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 40所以 210abmxy?????, 即 21mxy??. 當 m=0 時,方程表示兩直線 ,方程為 ?。當 1時, 方程表示的是圓當 0?且 ?時,方程表示的是橢圓。 當 ?時,方程表示的是雙曲線.(2).當 41?m時, 軌跡 E 的方程為214xy??,設圓心在原點的圓的一條切線為 ykxt??,解方程組 21ykxt?????得 22()kxt,即 22(4)840kxt??,要使切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A,B, 則使△= 22264(4)16(4)0ktktkt?????,即 210t??,即 2t??, 且12284ktx???????22221212112()84()()141ktkttkykxtkxtxt ??????,要使 OAB???, 需使 120y?,即2250t?,所以 2540tk??, 即 254tk且 241tk?, 即 2245k??恒成立.所以又因為直線 yx為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21trk??,22(1)45ktr??, 所求的圓為 245xy??.當切線的斜率不存在時,切線為 5?x,與24xy交于點 ),5(?或)52,(??也滿足 OAB?.綜上, 存在圓心在原點的圓 25xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 41A,B,且 O???.(3)當 41?m時,軌跡 E 的方程為214xy??,設直線 l的方程為 ykxt??,因為直線 l與圓 C:22xyR?(1R2)相切于 A1, 由（2）知 2tRk?, 即 22(1)tR ①,因為 l與軌跡 E 只有一個公共點 B1,由（2）知 24ykxt??????得 224()kxt?,即 22(1)80kxt?有唯一解則△= 26(1)16(4)0ktkt???, 即 2410kt???, ②由①②得222341Rtk??????, 此時 A,B 重合為 B1(x1,y1)點, 由12284txk??????? 中 21x?,所以,2214163tRk???, B1(x1,y1)點在橢圓上,所以2221143yxR,所以 221124| 5OBxyR???,在直角三角形 OA1B1中, 2222111 24||||5()AOBA????因為24R??當且僅當 (,)?時取等號,所以 1||1?,即當 (,)??時|A 1B1|取得最大值 ,最大值為 1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關系,以及直線與橢圓的位置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.48.（2022 全國卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分）)0(12???bayx 3已知橢圓 C: 的離心率為 ，過右焦點 F 的直線 l 與 C 相交于 A、B2 啟東中學內部資料 請注意保存，嚴禁外傳！ 啟東中學內部資料 422（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在點 P，使得當 l 繞 F 轉到某一位置時，有 成立？若存在，求出所有的 P 的坐標與 l 的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二 問利用向量坐標關系及方程的思想，借助根與系數(shù)關系解決問題，注意特殊情況的處 理。解（Ⅰ）設 ??,0cF 當 l的斜率為 1 時，其方程為 Ocyx,0??到 l的距離為 2??， 故 2?c， 1c 由 3ace，得 3a， 2ab?=（Ⅱ）C 上存在點 P，使得當 l繞 F轉到某一位置時，有 OBAP??成立。由 （Ⅰ）知 C 的方程為 2x+ y=6. 設 ).,(),(21yxBA(ⅰ) ??kll的 方 程 為軸 時 ， 設不 垂 直當　C OBAP??使上 的 點 成立的充要條件是 ）點 的 坐 標 為 （ 2121,yxP?， 且 6)(3)(22121?yx整理得 6421212??yxx3,12??yCBA上 ， 即在、又故 032211yx