[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略-資料下載頁
2025-01-07 19:45本頁面
【正文】 求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。 例 12. 已知函數(shù) 是定義在 上的減函數(shù)，且對一切實數(shù) x，不等式 恒成立，求 k 的值。 分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得 由題意知 (1)(2)兩式對一切 恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象 這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。 例 13. 若函數(shù) 是偶函數(shù)，則 的圖象關(guān)于直線 _______對稱。 分析： 的圖象 的圖象，而 是偶函數(shù)，對稱軸是 ，故 的對稱軸是 。 例 14. 若函數(shù) 的圖象過點（ 0， 1），則 的反函數(shù)的圖象必過定點 ______。 分析： 的圖象過點（ 0， 1），從而 的圖象過點 ，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知， 的反函數(shù)的圖象必過定點 。 10. 求解析式 例 15. 設(shè)函數(shù) 存在反函數(shù)， 與 的圖象關(guān)于直線 對稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求 的解析式，實質(zhì)上就是求 圖象上任一點 的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 點 關(guān)于直線 的對稱點 適合 ，即 。 又 ， 即 ，選 B。 抽象函數(shù)的周期問題 ——由一道高考題引出的幾點思考 2022 年高考數(shù)學(xué)（文科）第 22 題：設(shè) 是定義在 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對稱。對任意 都有 。 （ I）設(shè) 求 ； （ II）證明 是周期函數(shù)。 解析：（ I）解略。 （ II）證明：依題設(shè) 關(guān)于直線 對稱 故 又由 是偶函數(shù)知 將上式中 以 代換，得 這表明 是 上的周期函數(shù)，且 2 是它的一個周期 是偶函數(shù)的實質(zhì)是 的圖象關(guān)于直線 對稱 又 的圖象關(guān)于 對稱，可得 是周期函數(shù) 且 2 是它的一個周期 由此進行一般化推廣，我們得到 思考一：設(shè) 是定義在 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對稱，證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。 證明： 關(guān)于直線 對稱 又由 是偶函數(shù)知 將上式中 以 代換，得 是 上的周期函數(shù) 且 是它的一個周期 思考二：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 和 對稱。證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。 證明： 關(guān)于直線 對稱 將上式的 以 代換得 是 上的周期函數(shù) 且 是它的一個周期 若把這道高考題中的 “偶函數(shù) ”換成 “奇函數(shù) ”， 還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到 思考三：設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對稱。證明 是周期函數(shù)，且 4 是它的一個周期。， 證明： 關(guān)于 對稱 又由 是奇函數(shù)知 將上式的 以 代換，得 是 上的周期函數(shù) 且 4 是它的一個周期 是奇函數(shù)的實質(zhì)是 的圖象關(guān)于原點（ 0， 0）中心對稱，又 的圖象關(guān)于直線 對稱，可得 是周期函數(shù)，且 4 是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到 思考四：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點 中心對稱，且其圖象關(guān)于直線 對稱。證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。 證明： 關(guān)于點 對稱 關(guān)于直線 對稱 將上式中的 以 代換，得 是 上的周期函數(shù) 且 是它的一個周期 由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在 上的函數(shù) ，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則 是 上的周期函數(shù)。進一步我們想到，定義在 上的函數(shù) ，其圖象如果有兩個對稱中心，那么 是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到 思考五：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點 和 對稱。證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。 證明： 關(guān)于 對稱 將上式中的 以 代換，得 是周期函數(shù) 且 是它的一個周期
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