函數(shù)恒成立問題——參變分離法-資料下載頁
2025-03-24 12:16本頁面
【正文】 方法，本題分離與很方便，只是在求二元表達式最值上需要一定的技巧。（2）本題在求的最大值時，還可以從表達式分子分母齊次的特點入手，同時除以（或）：，在通過換元轉化為一元表達式，再求最值即可。例9：已知函數(shù) ，如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.思路：恒成立不等式為,只需不等號兩側同時乘以即可進行參變分離，且由于,，也不存在不等號變號問題。則可得：,只需即可，設，嘗試利用導數(shù)求得最小值， 解： 即只需要設令 (分子的符號無法直接判斷，所以考慮再構造函數(shù)進行分析） 在單調遞增 在單調遞增 答案：例10：已知函數(shù),若,且 對任意恒成立,則的最大值為_________.思路：恒成立不等式，令，則，考慮分子，在單調遞增。盡管不能夠確定零點，但可以通過零點存在性定理大致的確定零點所在的位置。 ，使得。，同理，時，所以在單調遞減，在單調遞增。，因為即， 答案：3注意：（1）本題的一個重要技巧在于對零點的“設而不求”，在求得單調增的前提下，判斷的符號零點必不可少，但方程無法求出解。那么卡在這一步是否要放棄重來？不然?？蓵河靡粋€變量來表示零點，再用特殊點的函數(shù)值將零點控制在一個小的范圍內。在本題中這種方法帶來方法上的兩個突破：第一，能夠判斷的符號進而得到的符號，確定了的單調性，找到最小值。第二，盡管不可求，但是本身自帶一個方程，從而達到了一個對數(shù)與一次函數(shù)的轉換。對后面的化簡有極大幫助（2）若所求變量在整數(shù)集中取值，則求變量的值時不僅可利用等量關系，也可考慮求關于該變量的不等關系，再由其整數(shù)性選取符合條件的整數(shù)即可。10
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