恒成立、存在性問題集錦-資料下載頁
2025-01-10 15:59本頁面
【正文】 注：用分離參數(shù)法無法解決。由 aa1 可知， a 應(yīng)從 0,1 分區(qū)間考慮 例 4 已知函數(shù) )(ln)( axxxf ?? 的最小值為 0,其中 0?a 。 （ 1）求 a 的值； （ 2）若對任意的 ),0[ ???x 有 2)( kxxf ? 成立，求實數(shù) k 的最小值。 （ 1） )(xf 的定義域為 ),( ??a ， ax axaxxf ?????? 111)( ，由 0)( ?? xf ，得 aax 1 ?? ， 5 當(dāng) x 變化時， )(),( xfxf? 的變化情況如下表： x )1,( aa a1 ),1( ??a )(xf? 0 + )(xf 極小值 因此， )(xf 在 ax 1? 處取得最小值，故由題意 01)1( ?? aaf ，∴ 1?a 。 （ 2） 當(dāng) 0?k 時，取 1?x ，有 02ln1)1( ??f ，故 0?k 不合題意 。 當(dāng) 0?k 時，令 2)()( kxxfxg ? ，即 2)1(ln)( kxxxxg ?? 1 )]21(2[21)( ????? x kkxxkxx xxg，令 0)( ?? xg ，得 12 21,0 21 ??? kxx 1． 當(dāng)21?k時， 0)(,0221 ??? xgkk在 ),0( ?? 上恒成立，∴ )(xg 在 ),0[ ?? 上單調(diào)遞減。從而對任意的 ),0[ ???x ，總有 0)0()( ?? gxg ，即 2)( kxxf ? 在 ),0[ ?? 上恒成立?！?1?k符合題意。 2． 當(dāng)210 ??k時， 0221 ?kk，對于 0),2 21,0( ??? (x)gk kx，故 )(xg 在 )221,0( kk上單調(diào)遞增 。 ∴當(dāng)取 )221,0(0 kkx ?時， 0)0()( 0 ?? gxg ，即 200)( kxxf ? 不成立。 ∴210 ??k不合題意。 綜上， k 的最小值為21。 恒成立問題 （或存在性問題） 可分三種情況， 1． 分離參數(shù)，這是最簡單的； 2．需分類討論的分離參數(shù)，各種情況求出的參數(shù)范圍應(yīng)求交集； 3．以上二法均不能解決，則用例 3或例 4 的方法 （作差，改變函數(shù)形式以利于求導(dǎo)） 。
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