淺談導(dǎo)數(shù)恒成立中的整數(shù)問題-資料下載頁
2025-03-25 05:32本頁面
【正文】 單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。第一問屬于常規(guī)問題，略解如下：⑴因?yàn)?，所以不等式即為，又因?yàn)?，所以不等式可化為，所以不等式的解集為?⑵，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故符合要求； ②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，因此有極大值又有極小值．若，因?yàn)?，所以在?nèi)有極值點(diǎn)，故在上不單調(diào)． 若，可知，因?yàn)榈膱D象開口向下，要使在上單調(diào)，因?yàn)?，必須滿足即所以.綜上可知，的取值范圍是． ⑶當(dāng)時(shí), 方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價(jià)于，令，因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)， 又，，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為。五、與整數(shù)相關(guān)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)， 設(shè) （1）是否存在唯一實(shí)數(shù)，使得，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由。 （2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。 第一問，求函數(shù)零點(diǎn)所在的整數(shù)區(qū)間，過程如下： （1）由得 則因此在內(nèi)單調(diào)遞增. 因?yàn)椋创嬖谖ㄒ坏母?，于是第二問，屬于前面探討過的參數(shù)范圍與整數(shù)相關(guān)問題，過程如下：（2）由得，且恒成立，由第（1）題知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值.由，得 即 于是又由，得，從而，故正整數(shù)n的最大值為3。導(dǎo)數(shù)恒成立問題中的整數(shù)問題，目前在導(dǎo)數(shù)問題中出現(xiàn)的頻率還相對(duì)較低，因此對(duì)這類問題的研究還不夠深入。雖然這類問題和其它導(dǎo)數(shù)問題的整體解決思路，用到到數(shù)學(xué)思想和方法大致相同，但是還是有自己一些獨(dú)立的特點(diǎn)，這就需要我們進(jìn)一步去共同去挖掘。7
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