用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立與存在性問題答案-資料下載頁
2025-06-25 23:05本頁面
【正文】 圖象恒在直線y＝2ax的下方等價(jià)于對(duì)?x∈(1，＋∞)，f(x)＜2ax，即(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．設(shè)g(x)＝(a－)x2－2ax＋ln x(x∈[1，＋∞))，則g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝(x－1)(2a－1－)．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，x－1＞0,0＜＜1.①若2a－1≤0，即a≤，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為減函數(shù)， 則當(dāng)?x∈(1，＋∞)時(shí)g(x)＜g(1)＝a－－2a＝－－a，只需－－a≤0，即當(dāng)－≤a≤時(shí)，g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．②若0＜2a－1＜1，即＜a＜1時(shí)，令g′(x)＝(x－1)(2a－1－)＝0得x＝＞1，函數(shù)g(x)在區(qū)間為減函數(shù)，為增函數(shù)，則g(x)∈，不合題意．③若2a－1≥1，即當(dāng)a≥1時(shí)g′(x)＞0，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，＋∞)為增函數(shù)，則g(x)∈[g(1)，＋∞)，不合題意．綜上可知：當(dāng)－≤a≤時(shí)g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立，即當(dāng)－≤a≤時(shí)，在區(qū)間(1，＋∞)上函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y＝2ax的下方．
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