【導(dǎo)讀】將a，b與c，d用線連接成負反饋狀態(tài)；試說明系統(tǒng)自動控制。與此同時，和大門連在一起的電刷也向上移動，直到橋式測量電路達到平。衡，電動機停止轉(zhuǎn)動，大門達到開啟位置。反之，當(dāng)合上關(guān)門開關(guān)時，電動機帶。動絞盤使大門關(guān)閉，從而可以實現(xiàn)大門遠距離開閉自動控制。例1-3題1-3圖為工業(yè)爐溫自動控制系統(tǒng)的工作原理圖。作原理，指出被控對象、被控量和給定量，畫出系統(tǒng)方框圖。方成正比，cu增高，爐溫就上升，cu的高低由調(diào)壓器滑動觸點的位置所控制，該觸點由可逆轉(zhuǎn)的直流電動機驅(qū)動。爐子的實際溫度用熱電偶測量，輸出電壓。fu作為系統(tǒng)的反饋電壓與給定電壓ru進行比較，得出偏差電壓eu，經(jīng)電壓。放大器、功率放大器放大成au后，作為控制電動機的電樞電壓。的熱量正好等于從加熱器吸取的熱量，形成穩(wěn)定的熱平衡狀態(tài)，溫度保持恒定。當(dāng)爐膛溫度T°C由于某種原因突然下降，控制的結(jié)果是使?fàn)t膛溫度回升，直至T°C的實際值等于期望值為止?？偽灰频扔诟髟鄬ξ灰浦汀?

　　

【正文】 T = 時，截止頻率 ?c = 5。若要求?c 不變，如何選擇 k ， T 值，才能使系統(tǒng)相位裕度提高 45?。 解 當(dāng) k =10， T = 時，系統(tǒng)截止頻率 ?c = 5，可知 1 )(10)( ? ?? s ssG c 因而 ?(?c) = ? arctan(?c) jjL cc 51 )(10lg20)( ? ??? 若要重新選擇 k ， T 值，使 ? 提高 45?。 設(shè) 1 )1()( 111 ??? s sTksGc 當(dāng) ?c = 5 時， ?c1(?c) = arctan(T1?c) ? arctan(?c) jTjkL cc 51 )15(lg20)( 111 ? ??? 由 ?c1(?c)= ?(?c) ? 45? 可得 arctan(T1?c)= arctan(?c) ? 45? 即 T1 = 另外，在增大 ? 的同時，要 Gc (s)?s=j? 保持的幅值不變，才能不改變系統(tǒng)截止頻率，因此 Lc1(?c) = Lc (?c) jjjTjk 51 )(10lg2051 )15(lg20 11 ? ??? ? 從而解出 k1 = 。 例 65 設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖 629 所示，圖中 Gn(s)為順饋傳遞函數(shù)， Gc(s)=kt?s為測速電機及分壓器的傳遞函數(shù)， G1(s)和 G2(s)為前向通路中環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)， N(s)為可測量的干擾。若 G1(s)= k， G2(s)=1/s2，試確定 Gn(s)， Gc(s)和 k1，使 系統(tǒng)輸出量完全不受干擾 n(t)的影響，且單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量等于 25%，峰值時間為 2s。 解 當(dāng) R(s) = 0 時，令 C(s) = 0 得 0)()(1 21 2 ??? sNsNGGG GG 所以 11 21 2 ??? GGGGG 已知 G1(s)= k， G2(s)=1/s2，閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 012121 ??? cGGGGG 由 Mp% = 25%， tp = 2，求得理想閉環(huán)極點 ,21 js ??? ))(()( 221 ?????? sssssssd 由系統(tǒng)特征方程得 012121 ???? sksksk t 用長除法可得 k1=， kt? = ssG GGGG 22 21 ?????? 所以 G c = Gn = ?s2 ? k1 = 第七章習(xí)題及答案 [例 71] 具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖 71 所示，試求。 (1) K=15 時系統(tǒng)的自由運動狀態(tài)。 (2) 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩， K 的臨界穩(wěn)定值是多少。 解 查表 71 可知飽和非線性特性的描述函數(shù)為 )( ])(1[ ar cs i n2)( 2 aAAaAaAakAN ???? ? 其中 k=2， a=1，于是 ???????????????????21111a r cs in4)(1AAAAN? 起點 A=1 時 ， ?1/N(A)=?。當(dāng) A→ ?時， ?1/N(A)= ??，因此 ?1/N(A)曲線位于 ?~ ??這段負實軸上。 系統(tǒng)線性部分的頻率特性為： ] 0 0 [)]([))(()(242????????? ??????? ?jksskjGjs 令 Im[G(j?)]=0 即 1??2=0，得 G(j?)曲線與負實軸交點的 頻率為： sra d / 1 ??? 代 Re[G(j?)]，可求得 G(j?)曲線與負實軸的交點為： )]([ kkjGR e ?????? ????? (1) 將 K=15 代入上式，得 Re[G(j?)]= ?1。圖 71 繪出了 K=15 時的 G(j?)曲線與 ?1/N(A)曲線，兩曲線交于（ ?1， j0）點。顯然，交點對應(yīng)的是下一個穩(wěn)定的自振蕩，根據(jù)交點處的幅值相等， 即： 圖 71 例 71 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖 71 例 71 系統(tǒng)的G(j?)和 ?1/N(A)曲線 1)1(111[a rc s in4 2?????AAA? 求得與交點對應(yīng)的振幅 A=。因此當(dāng) K=15 時系統(tǒng)的自由運動狀態(tài)為自振蕩狀態(tài)，其振幅和頻率為 A=， ?=。 （ 2）欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩，由于 G(s)極點均在左半 s 平面，故根據(jù)奈氏判據(jù)知，應(yīng)使 G(j?)曲線不包圍 ?1/N(A)曲線，即 ??? k 故 K 的臨界穩(wěn)定值為： ???M A XK [例 72] 非線性系統(tǒng)如圖 72 所示，試用描述函數(shù)法分析周期運動 的穩(wěn)定性，并確定自振蕩的振幅和頻率。 解： 由圖 72 可知，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不是描述函數(shù)應(yīng)用時的典型結(jié)構(gòu)，因此首先變換成典型結(jié)構(gòu)。由于在用描述函數(shù)分析穩(wěn)定性和自振蕩時，不考慮 r(t)的作用，故設(shè) r(t)=0。再根據(jù)結(jié)構(gòu)圖中信號間的相互關(guān)系，故圖 72 可變換成圖 73的典型結(jié)構(gòu)。 由結(jié)構(gòu)圖知，非線性特性是滯環(huán)繼電特性： M=1， h=,故 )(14 4)(14)(2222????????hAAjAAAMhjAhAMAN???? 圖 72 例 72 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 （ a） （ b） 圖 73 例 71 結(jié)構(gòu)圖變換 畫出 ?1/N(A)曲線與 G(j?)曲線如圖 74 所示， ?1/N(A)曲線是一條虛部為?j?h/4M=? 的直線。顯然兩曲線的交點處決定了一個穩(wěn)定的自振蕩。 )1(10110 )1(10)(22 ?????????????jjjjG? 令 )1( 10)]([ 2 ????? ???jGI m，試探法解下列方程： ?(1+?2)=1 得 ? ≈ 4（ rad/s） 將 ?=4 代入 Re[G(j?)]： 1 10 2 ??? ? 令 Re[G(j?)] = Re[?1/N(A)] ? = ? 22 4 ?A? 得 A= 故自振蕩的振幅 A=，頻率 ? =4rad/s。 [例 73] 典型階線性系統(tǒng)如圖 75 所示，試用相平法求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。 解 由于是用相平法求 r(t)作用下的系統(tǒng)的響應(yīng)，故相平面取為 e— e? 平面，由結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的微分方程為： KeccT ????? 因 e=r?c，有 rrTKeeeT ?????? ???? 1．階躍響應(yīng) 此時 r(t)=R?1(t)，則當(dāng) t0 時，有 r(t)=R ，0??rr ??? 。代入上式，得階躍輸入下系統(tǒng)的誤差方程： 0??? KeeeT ??? 由此繪制相軌跡曲線，奇點為（ 0， 0）。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 c(0)=0， c? (0)=0，則誤差的初始條件為 e(0)=R， e? (0)=0。若參數(shù) T、 K 使系統(tǒng)具有一對負實部的共軛復(fù)數(shù)極點（欠阻尼），則其相軌跡如圖 76(a)所示。若具有兩個負實數(shù)極點（過阻尼），則其相軌跡如圖 76(b)，分析相平面圖即可了解系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì)。例如穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng) R=1 時，超調(diào)量如圖所示等。 圖 74 例 71 系統(tǒng)的G(j?)和 ?1/N(A)曲線 圖 75 典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2．斜坡響應(yīng) 設(shè)輸入信號為 r(t)=vt， t 0 時， 0,0 ??? rvr ??? ，代入系統(tǒng)的誤差方程，得斜坡輸入下的誤差方程為 vKeeeT ?????? 它可以寫成 0)( ???? KveKeeT ??? 作變量置換 e?=e?v/K 則誤差 e?的方程為 0?????? eKeeT ??? 與階躍輸入的誤差方程相同。所以，只須把階躍輸入時的相平面圖右移 v/K 即可得出。由此可知此時相軌跡的奇點為（ v/K， 0）。圖 77(a)、 (b)分別對于欠阻尼和過阻尼情況，給出了系統(tǒng)在初始狀態(tài) c(0)=0， c? (0)=0 下斜坡響應(yīng)的相平面圖。由于 e? (0)= r? (0) ?c? (0)=v，故相軌跡的起點為（ 0， v）。顯然由相平面圖可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差是 v/K。 應(yīng)當(dāng)特別指出，由于在非線性系統(tǒng)中，其非線性特性往往可以分段加以線性化，而在每一個 分段中，系統(tǒng)都可以用線性微分方程描述，因此線性系統(tǒng)在相平面分析是非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。 [例 74] 采用非線性反饋校正的二階隨動系統(tǒng)如圖 78 所示，試分析線性反饋校正在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的作用。 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 76 階躍輸入時的相平面圖 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 77 斜坡輸入時的相平面圖 圖 78 采用非線性反饋校正的二階隨動系統(tǒng) 解 由圖可知，非線性反饋校正裝置為死區(qū)特性 ???????????????????ccccctx 0)( 即在輸出 c(t)信號較小時沒有局部反饋，只在輸出 c(t)較大時才接入局部。系統(tǒng)存在局部反饋時，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是 sKTs KKsG )1()( 22 21 ???? 相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2222122212 )1()(nnnssKKsKTsKKs????????????? 其中， )2/(1( ,/ 21221 KTKKTKKn ??? ??? 。 這時的阻尼比 ? 較大，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 79 中的曲線 2，無超調(diào)，但響應(yīng)速度很慢。當(dāng)系統(tǒng)沒有局部反饋時， 212/1 KTK?? ，阻尼比顯然較小，階躍響應(yīng)曲線如圖 79 中的曲線 1，超調(diào)量很大。 接入非線性反饋校正之后，它的階躍響應(yīng)曲線如圖 79 中的曲線 3，響應(yīng)快，又沒有超調(diào)。這是因為：當(dāng)輸出信號較小時（ |c|Δ），相當(dāng)于沒有局部反饋， c(t)沿曲 線 1 快速上升。當(dāng)輸出足夠大時（ cΔ），局部反饋投入， c(t)按曲線 2 的規(guī)律繼續(xù)上升，從而形成響應(yīng)曲線 3，即快速又平穩(wěn)的響應(yīng)。該例題中的死區(qū)特性可以用如圖 710 所示的線路來實現(xiàn)。 綜上所述，在多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)中存在的非線性因素，對系統(tǒng)的控制性能會產(chǎn)生不利的影響。但在控制系統(tǒng)中恰當(dāng)?shù)丶尤胩囟ǖ姆蔷€性特性，卻能使控制性能得到改善，這種人為地加入系統(tǒng)內(nèi)的非線性特性稱為非線性校正裝置。 圖 79 例 74 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 圖 710 死區(qū)非線性特性的實現(xiàn)