【文章內容簡介】 的極限值為 3。相應于 K=3 的頻率可由輔助方程 06323 22 ???? sKs 確定。 解之得根軌跡與虛軸的交點為 2js ?? 。根軌跡與虛軸交點處的頻率為 ????? 方法二 令 ?js? 代入特征方程式，可得 02)(2)(3)( 23 ???? Kjjj ??? 即 0)2()32( 22 ???? ??? jK 令上述方程中的實部和虛部分別等于零，即 032 2 ?? ?K ， 02 2 ???? 所以 2??? 3?K （ 6）確定根軌跡各分支上每一點的 K 值 根據繪制根軌跡的基本法則，當從開環(huán)極點 0 與 － 1 出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運動時，從另一極點 － 2 出發(fā)的根軌跡分支一定向左移動。當前兩條根軌跡分支和虛軸在 K=3 處相交時，可按式 3)()( ?????? jjx? 求出后一條根軌跡分支上 K=3 的點為 ο x=－ 3。 由（ 4）知，前兩條根軌跡分支離開實軸時的相應根值為 － 177。 j0。因此，后一條根軌跡 分支的相應點為 3)4 2 ()4 2 ( ??????x? 所以 ， ο x=－ 。 因本系統(tǒng)特征方程式的三個根之和為 － 2K，利用這一關系，可確定根軌跡各分支上每一點的 K 值。 現在已知根軌跡的分離點分別為 － 177。 j0 和 － ，該點的 K 值為 )1 5 ()4 2 (2 2 ???? K 即， K=。 系統(tǒng)的根軌跡如圖 41所示。 例 42 設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 )22)(3( )2(3)()( 2 ??? ?? ssss sKsHsG 試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 解 （ 1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0， － 3， (－ 1＋ j)和 (－ 1－ j),它們是根軌跡上各分支的起點。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點 － 2，其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠處。 （ 2）確定根軌跡的漸近線 漸近線的傾斜角為 03 180)12()12( ? ??????? KmnKa ?? 取式中的 K=0， 1， 2， 得 φ a=π /3， π ， 5π /3，或177。 60176。及－ 180176。 。 三條漸近線如圖 414中的虛線所示。 漸近線與實軸的交點為 114 )2()1130(1 11 ??? ?????????????? ??? ?? ?? jjzpmn mi inj ja? （ 3）實軸上的根軌跡位于原點與零點 － 2 之間以及極點 － 3 的左邊，如圖42 中的粗線所示。從復數極點 (－ 1177。 j) 出發(fā)的兩條根軌跡分支沿 177。 60176。 漸近線趨向無窮遠處。 （ 4）在實軸上無根軌跡的分離點。 （ 5）確定根軌跡 與虛軸的交點 圖 41 例 41 系統(tǒng)的根軌跡 σ ω j 系統(tǒng)的特征方程式為 0)2(3)22)(3( 2 ?????? sKssss 即 06)36(85 234 ?????? KsKsss 勞斯行列表 4s 1 8 K6 3s 5 K36? 2s 5 )36(40 K?? K6 1s KKK 33415036 ??? 0 0s 6 若陣列中的 s1 行等于零，即 （ 6+3K）－ 150K/（ 343K） =0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 解之可得 K=。 相應于 K= 的頻率由輔助方程 ? ? )(40 2 ?????? s 確定。 解之得根軌 跡與虛軸的交點為 s=177。 。根軌跡與虛軸交點處的頻率為ω =。 （ 6）確定根軌跡的出射角 根據繪制根軌跡的基本法則，自復數極點 p1=（－ 1＋ j） 出發(fā)的根軌跡的出射角為 j)(p)(pp)(p)k(θ ?????????????? 13212180 1111? 將由圖 42 中測得的各向量相角的數值代入并取 k=0，則 得到 ??? ? 系統(tǒng)的根軌跡如圖 42所示。 例 43 試用根軌跡法確定下列代數方程的根 08644)( 234 ?????? sssssD 解 當代數方程的次數較高時，求根比較困難，即使利用試探法，也存在一個選擇初始試探點的問題。用根軌跡法可確定根的分布情況，從而對初始試探點作出合理的選擇。 把待求代數方程視為某系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式，作等效變換得 034 )86(1 234 2 ??? ??? sss ssK g Kg=1 時，即為原代數方程式 。等效開環(huán)傳遞函數為 )1)(3( )4)(2()()( 2 ?? ??? sss ssKsHsG g 因為 Kg0, 先做出常規(guī)根軌跡。 系統(tǒng)開環(huán)有限零點 z1=－ 2， z2=－ 4；開環(huán)有限極點為 p1=p2=0， p3=－ 1， p3=－ 3。 實軸上的根軌跡區(qū)間 為 [4， 3]， [2， 1]。 根軌跡有兩條漸近線，且 σ a=1， φ a=177。 90176。 。 作等效系統(tǒng)的根軌跡如圖 43 所示。 S 平面 ω j σ 1 2 3 4 0 j1 j2 j3 j3 135176。 45176。 90176。 176。 圖 42 例 42 系統(tǒng)的根軌跡 圖知，待求代數方程根的初始試探點可在實軸區(qū)間 [－ 4， － 3]和 [－ 2，－ 1]內選擇。確定了實根以后，運用長除法可確定其余根。 初選 s1=－ ，檢查模值 |)4)(2(| |)1)(3(|111121 ??? ??? ss sssK g 由于 Kg1 故應增大 s1，選 s1=－，得 Kg=。 初選 s2= － ，檢查模值得Kg=，由于 Kg1，故應增大 s2，選 s2=－ ，得 Kg=。經幾次試探后，得 Kg= 時 s2=－ 。 設 0)())(()( ????? sBsssD 運用多項式的長除法得 8 1 9 )( 2 ??? ssB 解得 3 ,3 js ?? 例 44 已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 )204)(4()()( 2 ???? ssss KsHsG g 試概略繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 解 按照基本法則依次確定根軌跡的參數： （ 1）系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為 0， － 4，和 － 2177。 j4。 （ 2）軸上的根軌跡區(qū)間為 [－ 4， 0]。 （ 3）根軌跡的漸近線有四條，與實軸的交點及夾角分別為 σ a=－ 2； φ a=177。 45176。，177。 135176。 （ 4）復數開環(huán)極點 p3,4=－ 2177。 j4 處，根軌跡的起始角為 θ =177。 90176。 （ 5）確定根軌跡的分離點。由分離點方程 0421421411 ????????? jdjddd 解得 21 ??d ， 623,2 jd ??? 因為 21 ??d 時， 064??gK 623,2 jd ??? 時， 0100??gK S 平面 j ω σ 0 1 2 3 4 圖 43 例 43 系統(tǒng)的根軌跡 所以， d d d3 皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。 （ 6）確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 080368)( 234 ?????? gKsssssD 列寫勞斯表如下 4s 1 36 gK 3s 8 80 2s 26 gK 1s 26 82680 gK?? 0s Kg 當 Kg=260 時，勞斯表出現全零行。求解輔助方程 026)( 2 ??? gKssF 得根軌跡與虛軸的交點為 10js ?? 。概略繪制 系統(tǒng)根軌跡如圖 44 所示。 圖 44 例 44 系統(tǒng)的根軌跡 S 平面 ω σ j 第五章習題及答案 例 51 已知一控制系統(tǒng)結構圖如圖 51 所示，當輸入 r(t) = 2sint 時，測得輸出 c(t)=4sin(t?45?)，試確定系統(tǒng)的參數 ? ， ?n。 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為 2222)( nnn sss ????? ??? 系統(tǒng)幅頻特性為 22222224)()( ????????nnnj ??? 相頻特性為 222a rc ta n)( ?? ????? ??? n n 由題設條件知 c(t) = 4sin( t ?45?) =2 A(1) sin(t + ?(1)) 即 122222224)()1( ???? ???????nnnA 24)1( 2222 2 ????nnn ??? ? 1222a r c ta n)1(???????????nn ?????? 4512a rc ta n 2n n??? 整理得 ]4)1[(4 22224 nnn ???? ??? 12 2 ?? nn ??? 解得 ?n = ? = 例 52 單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數 2 1)( sassG ?? 試確定使相位裕度 ? = 45?的 a 值。 解 01)(lg20)(22 ???ccaL ??? ?c4 = a2?c 2 + 1 ??????? 451 8 0)a r c ta n (1 8 0 ca ?? a?c = 1 聯立求解得 4 2?c? ??a 例 53 最小相位系統(tǒng)對數幅頻漸近特性如圖 565 所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數。 解 由圖知在低頻段漸近線斜率為 0，故系統(tǒng) 為 0 型系統(tǒng)。漸近特性為分段線性函數，在各交接頻率處，漸近特性斜率發(fā)生變化。 在 ? = 處，斜率從 0 dB/dec 變?yōu)?20dB/dec，屬于一階微分環(huán)節(jié)。 在 ? = ?1 處，斜率從 20 dB/dec 變?yōu)?0 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 在 ? = ?2 處，斜率從 0 dB/dec 變?yōu)??20 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 在 ? = ?3 處，斜率從 ?20 dB/dec 變?yōu)??40 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 在 ? = ?4 處，斜率從 ?40 dB/dec 變?yōu)??60 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 因此系統(tǒng)的傳遞函 數具有下述形式 )1/)(1/)(1/)(1/( )(( 4321 ???? ?? ???? ssss sKsG ） 式中 K， ?1， ?2， ?3， ?4 待定。 由 20lgK = 30 得 K = 。 確定 ?1： 304020 1 ??? ? 所以 ?1 = 確定 ?2： 4lg100lg0560 ?????? 所以 ?2 = 確定 ?3： 34 lglg20540 ?? ???? 所以 ?3 = 確定 ?4： 23 lglg402020 ?? ???? 所以 ?4 = 于是，所求的傳遞函數為 ))()()(( )(( ???? ?? ssss ssG ） 例 54 某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性如