【正文】 但在控制系統(tǒng)中恰當(dāng)?shù)丶尤胩囟ǖ姆蔷€性特性，卻能使控制性能得到改善，這種人為地加入系統(tǒng)內(nèi)的非線性特性稱為非線性校正裝置。這是因?yàn)椋寒?dāng)輸出信號較小時（ |c|Δ），相當(dāng)于沒有局部反饋， c(t)沿曲 線 1 快速上升。系統(tǒng)存在局部反饋時，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是 sKTs KKsG )1()( 22 21 ???? 相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2222122212 )1()(nnnssKKsKTsKKs????????????? 其中， )2/(1( ,/ 21221 KTKKTKKn ??? ??? 。顯然由相平面圖可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差是 v/K。所以，只須把階躍輸入時的相平面圖右移 v/K 即可得出。若參數(shù) T、 K 使系統(tǒng)具有一對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（欠阻尼），則其相軌跡如圖 76(a)所示。 [例 73] 典型階線性系統(tǒng)如圖 75 所示，試用相平法求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。再根據(jù)結(jié)構(gòu)圖中信號間的相互關(guān)系，故圖 72 可變換成圖 73的典型結(jié)構(gòu)。因此當(dāng) K=15 時系統(tǒng)的自由運(yùn)動狀態(tài)為自振蕩狀態(tài)，其振幅和頻率為 A=， ?=。當(dāng) A→ ?時， ?1/N(A)= ??，因此 ?1/N(A)曲線位于 ?~ ??這段負(fù)實(shí)軸上。 解 當(dāng) R(s) = 0 時，令 C(s) = 0 得 0)()(1 21 2 ??? sNsNGGG GG 所以 11 21 2 ??? GGGGG 已知 G1(s)= k， G2(s)=1/s2，閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 012121 ??? cGGGGG 由 Mp% = 25%， tp = 2，求得理想閉環(huán)極點(diǎn) ,21 js ??? ))(()( 221 ?????? sssssssd 由系統(tǒng)特征方程得 012121 ???? sksksk t 用長除法可得 k1=， kt? = ssG GGGG 22 21 ?????? 所以 G c = Gn = ?s2 ? k1 = 第七章習(xí)題及答案 [例 71] 具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖 71 所示，試求。 解 當(dāng) k =10， T = 時，系統(tǒng)截止頻率 ?c = 5，可知 1 )(10)( ? ?? s ssG c 因而 ?(?c) = ? arctan(?c) jjL cc 51 )(10lg20)( ? ??? 若要重新選擇 k ， T 值，使 ? 提高 45?。 設(shè)超前網(wǎng)絡(luò)相角為 ?m，則 *)12~5( ??? ????m ???????????? 43101245)12~5(* ??? m 5sin1 sin1 ???? mm??? 中頻段 0lg10)()( ??????? ??? cc LL 所以 ??c? 驗(yàn)算 )(1 8 0 cm ???? ???????? ) r c t a n (a r c t a n9043180 cc ?? ???????????? = 48? 45? )/(1 ?? Tc ??? 0 7 )/(1 ???? ?? cT 所以超前校正網(wǎng)絡(luò)后開環(huán)傳遞函數(shù)為 ssssssG 0 7 ))(1( 16)( ?????? 例 63 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ))(1()( ??? sss ksG 試設(shè)計(jì)一串聯(lián)校正裝置，使校正后開環(huán)增益等于 5，相位裕度 ? * ?40?，幅值裕度 h* ?10(dB)。 例 62 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) ))(1()( ??? sss ksG 單位斜坡輸入 R(t)= t，輸入產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差 e ? 。 (1) 確定滿足上述指標(biāo)的最小 k 值，計(jì)算該 k 值下的相位裕度和幅值裕度。因?yàn)榇嬖谝粚μ摌O點(diǎn) s = ? j2，故從 ? =2? 的對應(yīng)點(diǎn)起，順時針補(bǔ)作 180?且半徑為無窮大的虛圓弧。 由對數(shù)幅頻漸近特性 A(?c) = 1 求得 ?c 的近似值為 111021 0 0)( ??????cccccA ????? ?c = 再用試探法求 ?(?g) = ?180?時的相角穿越頻率 ?g，得 ?g = 系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度分別為 )()( 1lg20 dBjGh g ??? ? ?????? )(1 8 0 g??? 例 57 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )14)(1(10)(2 ??? ssssG 試判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。 例 56 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )120)(110)(1(12(100(????? ssssssG）） 試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。作系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖 568 所示。由 )1s in1( ??? ?pM 得 Mp1 = Mp 即系統(tǒng)超調(diào)量不變。要求： (1) 寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； (2) 利用相位裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性； (3) 將其對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對系統(tǒng)性能的影響。 在 ? = ?4 處，斜率從 ?40 dB/dec 變?yōu)??60 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 在 ? = 處，斜率從 0 dB/dec 變?yōu)?20dB/dec，屬于一階微分環(huán)節(jié)。 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2222)( nnn sss ????? ??? 系統(tǒng)幅頻特性為 22222224)()( ????????nnnj ??? 相頻特性為 222a rc ta n)( ?? ????? ??? n n 由題設(shè)條件知 c(t) = 4sin( t ?45?) =2 A(1) sin(t + ?(1)) 即 122222224)()1( ???? ???????nnnA 24)1( 2222 2 ????nnn ??? ? 1222a r c ta n)1(???????????nn ?????? 4512a rc ta n 2n n??? 整理得 ]4)1[(4 22224 nnn ???? ??? 12 2 ?? nn ??? 解得 ?n = ? = 例 52 單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 2 1)( sassG ?? 試確定使相位裕度 ? = 45?的 a 值。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 080368)( 234 ?????? gKsssssD 列寫勞斯表如下 4s 1 36 gK 3s 8 80 2s 26 gK 1s 26 82680 gK?? 0s Kg 當(dāng) Kg=260 時，勞斯表出現(xiàn)全零行。 90176。177。 j4。 初選 s2= － ，檢查模值得Kg=，由于 Kg1，故應(yīng)增大 s2，選 s2=－ ，得 Kg=。 176。 作等效系統(tǒng)的根軌跡如圖 43 所示。 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間 為 [4， 3]， [2， 1]。用根軌跡法可確定根的分布情況，從而對初始試探點(diǎn)作出合理的選擇。 。 （ 5）確定根軌跡 與虛軸的交點(diǎn) 圖 41 例 41 系統(tǒng)的根軌跡 σ ω j 系統(tǒng)的特征方程式為 0)2(3)22)(3( 2 ?????? sKssss 即 06)36(85 234 ?????? KsKsss 勞斯行列表 4s 1 8 K6 3s 5 K36? 2s 5 )36(40 K?? K6 1s KKK 33415036 ??? 0 0s 6 若陣列中的 s1 行等于零，即 （ 6+3K）－ 150K/（ 343K） =0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 j) 出發(fā)的兩條根軌跡分支沿 177。 。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點(diǎn) － 2，其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠(yuǎn)處。 系統(tǒng)的根軌跡如圖 41所示。因此，后一條根軌跡 分支的相應(yīng)點(diǎn)為 3)4 2 ()4 2 ( ??????x? 所以 ， ο x=－ 。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為 ????? 方法二 令 ?js? 代入特征方程式，可得 02)(2)(3)( 23 ???? Kjjj ??? 即 0)2()32( 22 ???? ??? jK 令上述方程中的實(shí)部和虛部分別等于零，即 032 2 ?? ?K ， 02 2 ???? 所以 2??? 3?K （ 6）確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的 K 值 根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，當(dāng)從開環(huán)極點(diǎn) 0 與 － 1 出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運(yùn)動時，從另一極點(diǎn) － 2 出發(fā)的根軌跡分支一定向左移動。因此，兩個極點(diǎn)之間的分離點(diǎn)應(yīng)為 s1=－ 。 （ 2）系統(tǒng)的根軌跡有 3??mn 條漸進(jìn)線 漸進(jìn)線的傾斜角為 03 180)12()12( ? ??????? KmnKa ?? 取式中的 K=0， 1， 2， 得 φ a=π /3， π ， 5π /3。 第四章習(xí)題及答案 例 41 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(1( 2)()( ??? sss KsHsG 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差 ess=0，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量 Mp%=%，試問 Kp、 Kg、 T，各參數(shù)之間應(yīng)保持什么關(guān)系？ 解 開環(huán)傳遞函數(shù) )2()1(/)1()(2nngpgp ssTssTKKTssKKsG????????? 顯然 TKK gpn ?2? Tn 12 ??? 解得 : 24/1 ??TKK gp 由于要求 %%1 0 0% 21/ ??? ?? ??eM p 故應(yīng)有 ξ ≥ 。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 勞斯表為 4s 1 18 5 3s 8 16 0 2s 168 161188 ???? 58 0158 ???? 1s 581616 ???? 0 0s ???? 由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項(xiàng)均具有正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 例 設(shè)系統(tǒng)如圖 32 所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 圖 26 電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖 RC 網(wǎng)絡(luò) ?????? ??? sCIIURI 221111 1)(1 ?????? ?? 112 1112 sCR sCRII sCIIIRU 221222 1)( ??? 即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖 所示。 表 21 相似量 機(jī)械系統(tǒng) x