高等代數(shù)【北大版】(27)-資料下載頁
2025-01-20 13:15本頁面
【正文】 67。 唯一性 例 如果兩實(shí) n 元二次型的矩陣是合同的，則認(rèn)為 R上的一切 n 元二次 1 ( 1 ) ( 2 )2 nn??類 . 它們是屬于同一類的，那么實(shí)數(shù)域 型可分為 則 r 的可能取值是 0， 1， 2， … ， n， 1r?指數(shù) p 的可能取值是 0， 1， … ， r ，共 種 . f 的正慣性 即有 證： 任取實(shí) n元二次型 ( ) 39。 , 39。 R ,nnf X X A X A A ?? ? ?設(shè) ( ) ,f A r??秩 秩而對(duì)任意給定的 ( 0 ) ,r r n??167。 唯一性 0 , 01 , 0 , 1, 0 , 1 , 2 , ,rprpr n p n??????1種 2種 n＋ 1種 故共有 類 . 11 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2n n n? ? ? ? ? ? ?167。 唯一性 三、小結(jié) 基本概念 這里， r ＝秩 ( f ). n元實(shí)二次型 的規(guī)范形 12( , )nf x x x這里， ＝秩 ( f )， p 稱為 f 的正慣性指數(shù)； r rp?稱為 f 的負(fù)慣性指數(shù)； 稱為 符號(hào)差 . 2 pr?2 2 212 rz z z? ? ?2 2 2 211 p p ry y y y?? ? ? ? ? n元復(fù)二次型 的規(guī)范形 12( , )nf x x x167。 唯一性 基本結(jié)論 定理 3 任意一個(gè)復(fù)系數(shù)二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)? 非退化線性變換可變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的 . 即，任一復(fù)對(duì)稱矩陣 A合同于一個(gè)對(duì)角矩陣 0 , ( ) .00rE rA?? ????? 其 中 秩推論 兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣 A、 B合同 ( ) ( ) .秩 秩AB??167。 唯一性 定理 4 任意一個(gè)實(shí)二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶? 線性變換可變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的 . 即，任一實(shí)對(duì)稱矩陣 A合同于一個(gè)對(duì)角矩陣 11111100???????????? ?????其中 的個(gè)數(shù)等于矩陣 Ａ 的秩 . ?1167。 唯一性 推論 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A、 B合同的充要條件是 正慣性指數(shù)相等 . 且二次型 與 的 ( ) ( ) ,秩 秩AB? 39。X AX 39。X BX
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