高等代數(shù)【北大版】(27)-在線瀏覽
2025-03-09 13:15本頁面
【正文】 d y??? ? ? ? ? ?設(shè)實二次型 經(jīng)過 ( ) 39。 R nnf X X A X A A ?? ? ?可逆，得標準形 非退化線性替換 ,R nnX C Y C ???其中， r = 秩 f ( ).A? 秩0 , 1 , 2 ,id i r??167。( 39。 )f X Z D C A C D Z?2 2 2 211 p p rz z z z?? ? ? ? ? ?1111111()rrrrrnnyzdyzdyzyz??????????????? ??,或 Y = D Z , 同 前111( , , , 1 , , 1 )rD diagdd?稱之為實二次型 的 規(guī)范形 . ()fX167。 唯一性 定理 4 任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一 . 證明： 只證唯一性 . 慣性定理 設(shè)實二次型 AXXXf 39。 唯一性 只需證 .pg?（ 2） 用反證法，設(shè) ,pg?由 (1)、 (2)，有 2 2 2 211() q q rf X z z z z?? ? ? ? ? ?經(jīng)過非退化線性替換 化成規(guī)范形 X CZ?（ 3） 2 2 2 211 p p ry y y y?? ? ? ? ?2 2 2 211 q q rz z z z?? ? ? ? ? ?1 1 1( ) ( )Z C X C B Y C B Y? ? ?? ? ?且167。 唯一性 方程組（ 5）中未知量的個數(shù)為 n，方程的個數(shù)為 所以（ 5）有非零解 . ( ) ( ) ,q n p n p q n? ? ? ? ? ?令 為（ 5）的非零解 ， 0 1 1( , , , , )p p nY k k k k??則有 而 不全為 0. 1 0,pnkk? ? ? ?12, pk k k將 0Y 代入（ 3）的左端， 2 2 2 2112 2 2 2p p rq q ry y y yz z z z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?221 0,pkk? ? ?得其值為 167。 唯一性 2 2 2 211 p p ry y y y?? ? ? ? ?定義 實二次型 的規(guī)范形 1()nf x x中正平方項的個數(shù) p 稱為 的 正慣性指數(shù) ； f稱為 的 負慣性指數(shù) ； 負平方項
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