【正文】 這 表 明 ， 當74 例題與解答 ? 例 X在 [1,1]上服從均勻分布即 X ~U(1,1),求 Y=X2的分布函數與概率密度。 ? 解 : ydxFyyY ?? ?? 21當 0≤y1時 ?????????其它01021)(39。)(yyyFyf YY y? y當 y0時 0)( ?yFY當 y≥1,(x2≤1)時 1)( ?yFY)( yxy ???( ) ( ) ( )dxxfyFxxfyxXYX ????????? ????201121其它? y=x2 =P{Y≤y}=P{X2≤y}= 75 例題與解答 ? 例 X的概率密度為 fX(x),y=g(x)是 x的嚴格單調可導函數且導數恒不為零，求 Y=g(X)的概率密度。 ? 解： Y的分布函數為 若 y=g(x)單調遞減 ,則 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X?g1(y)}=1FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 )())((]))((1[)(111ygdydygfygFyfXXY????????若 y=g(x)單調遞增 ,則 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X ? g1(y)}=FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 )())((]))(([)(111ygdydygfygFyfXXY??????76 “公式法 ” 求分布 (定理 ) 若 X～ fX(x), y=g(x)是 單調可導 函數且導數恒不為零 .記 x=h(y)為 y＝ g(x)的反函數 ,(a,b)是 y＝ g(x)的值域 ,其中 ?ab+?,則 Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量 ,其密度為 ??? ????其它0|)(|)]([)(byayhyhfyf XY注意 ： 1 只有當 g(x)是 x的單調可導函數時，才可用以上公式推求 Y的密度函數。 2 注意定義域的選擇 77 練習 ( ) , ( 0 )( ) , l nX x Y a X b a YX x Y X Y? ? ???XX(1) 已 知 的 密 度 函 數 為 p 當 時 ， 求 的 密 度 函 數 。(2) 已 知 的 密 度 函 數 為 p 當 時 ， 求 的 密 度 函 數 。78 1( 1 ) ( ) ( ) 。 ( 2) ( ) ( )yyY X Y Xybp y p p y p e eaa???? ? ?解 答 ：79 例題與解答 ? 例 X~fX(x)， Y=eX， Z=X2，分別求 fY(y)和fZ(z)；其中 fX(x)=1/[?(1+x2)]。 ? 解： y=ex是單調可導函數，并且 y0,其反函數x=lny可導且 (lny)’=1/y 0，由定理 ，有 210( 1 l n )()00Yyyyfyy?????? ?? ??(這里因“ Y≤0”等價于“ eX ≤0”是不可能事件 ,故 FY(y)=0， fY(y)=0。 ) 80 續(xù)上頁 (1) 對 Z=X2 ，由于 g(x)=x2不是單調函數 ,故只能用“分布函數法”。 當 z≤0時 ,FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z}=0 。 fZ(z)=0 當 z0時， FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z} ??????? z z X dxxfzXzP )(}{zzfzzfdxxfdxxfzFzfXXzXzXZZ21)(21)(})()({)()(00???????? ???81 續(xù)上頁 (2) 因此， Z的概率密度為 ?????????000)1(1)(zzzzzf Z ?82 167。 ? 數學期望的概念 ? 數學期望的簡單性質 ? 方差 ? 切貝紹夫不等式 * ? 矩 通常求出隨機變量的分布并不是一件容易的事 , 而人們更關心的是用一些數字來表示隨機變量的特點 , 這些與隨機變量有關的數字 , 就是隨機變量的數字特征 . 最常用的數字特征為數學期望 , 方差等。 83 數學期望 ? 數學期望 —— 描述隨機變量取值的平均特征 ? 例：假設一個班共 20人 , 其中 18歲的有 6人 , 19歲的有 10人 , 20歲的有 4人 , 現任取一人觀察其歲數 , 則觀察到的歲數 x為一隨機變量 , 不難求出 x的分布律如下表所示： X 18 19 20 P 6/20 10/20 4/20 84 計算平均值 計算上例中平均年齡的方法之一是： 將這個班的學生的每個人的年齡加起來 , 再除以這個班的人數 20人 (即 6個 18歲 , 10個 19歲 , 4個20歲加起來 ),得平均年齡為 2022182022182020419201018206202041910186pppEX???????????????85 續(xù)上頁 上面計算平均值的方法很準確，但有時卻不方便使用(如人數很多，近似“無窮”時 )。 (加權平均不能解決“無窮”問題 ) 另一種是計算 統(tǒng)計平均值 的實用方法，通過對隨機變量 X進行重復地試驗 (抽查一個個學生年齡 ), 假設這試驗一共做了 n次 , 而獲得了 18,19,20這三個年齡的次數 (頻數 )分別為 n18, n19, n20次 , 則將這 n次試驗所獲得的總年齡數除以 n就是統(tǒng)計平均的年齡。 202218202218202218202218202218202218pppnnnnnnnnnnX??????????????????????????????頻率 86 離散型隨機變量的數學期望 ? 統(tǒng)計平均值 X與準確計算的平均值 EX還可能有差距 , 但是當試驗次數趨向于無窮時 (頻率趨近概率 ), 統(tǒng)計平均值 X就趨近于 EX了。 ? 定義 ：設離散型隨機變量 X有概率分布為：P{X=xn}=pn (n=1,2,...), 若級數 ???1nnn px絕對收斂， 則稱該級數為 X的數學期望，記作 EX，即 ????1nnn pxEX 形式上 EX是 X的各可能取值的加權平均，實質上也確實刻畫了 X取值的真正“平均”。 87 數學期望的力學解釋 在坐標軸上的 x1,x2,...,等點處放置質量為 p1,p2,...的質點 , 則數學期望處為整個質點體系的重心 . x1 x2 x3 p1 p2 p3 EX 88 例題與解答 ? 例 1 若 ?服從 01分布 , 其概率函數為P{?=k}=pk(1?p)1?k (k=0,1), 求 E? ? 解 E?=0?(1?p)+1?p=p x o 1 p p 1?p 89 例題與解答 ? 解 E?=1?+2?+3?= Eh=1?+2?+3?= 這表明 , 如多次射擊 , 他們得分的平均值分別是 , 故乙射手較甲射手的技術好。 ? 1 2 3 P h 1 2 3 P ? 例 2 甲乙兩名射手在一次射擊中得分 (分別用?,h表示 )的分布律如下表所示 , 試比較甲 ,乙兩射手的技術 .